Theory of Operator Algebras II

به زیرمجموعه‌های دایره‌المعارف در مورد جبرهای عملگر و هندسه غیرقابل تعویض تئوری جبرهای فون نویمان در مجموعه‌ای از مقالات توسط موری و فون نویمان در دهه‌های 1930 و 1940 آغاز شد. جبر فون نویمان یک زیرجبر واحد خود الحاق M از جبر عملگرهای محدود فضای هیلبرت است که در توپولوژی عملگر ضعیف بسته است. با توجه به قضیه دوجانشینی فون نویمان، M در توپولوژی عملگر ضعیف بسته است اگر و تنها در صورتی که با کموتانت کموتانتش برابر باشد. یک عامل یک جبر فون نویمان با مرکز بی اهمیت است و کار موری و فون نویمان شامل کاهش همه جبرهای فون نویمان به عوامل و طبقه بندی عوامل به انواع I، IT و III بود. جبرهای C*، جبرهای عملگر خود الحاقی در فضای هیلبرت هستند که در توپولوژی هنجار بسته هستند. مطالعه آنها در کار گلفاند و نایمارک آغاز شد که نشان دادند چنین جبرهایی را می توان به طور انتزاعی به عنوان جبرهای غیر فرعی Banach توصیف کرد و یک رابطه جبری را برآورده کرد که هنجار و چرخش را به هم متصل می کند. آنها همچنین این نتیجه اساسی را به دست آوردند که جبر واحد جابجایی C*-هم شکل با جبر توابع پیوسته با ارزش پیچیده در یک فضای فشرده - طیف آن - است. از آن زمان، موضوع جبر عملگر به یک تلاش ریاضی عظیم تبدیل شده است که تقریباً با هر شاخه ای از ریاضیات و چندین حوزه از فیزیک نظری در تعامل است.

to the Encyclopaedia Subseries on Operator Algebras and Non-Commutative Geometry The theory of von Neumann algebras was initiated in a series of papers by Murray and von Neumann in the 1930's and 1940's. A von Neumann algebra is a self-adjoint unital subalgebra M of the algebra of bounded operators of a Hilbert space which is closed in the weak operator topology. According to von Neumann's bicommutant theorem, M is closed in the weak operator topology if and only if it is equal to the commutant of its commutant. A factor is a von Neumann algebra with trivial centre and the work of Murray and von Neumann contained a reduction of all von Neumann algebras to factors and a classification of factors into types I, IT and III. C* -algebras are self-adjoint operator algebras on Hilbert space which are closed in the norm topology. Their study was begun in the work of Gelfand and Naimark who showed that such algebras can be characterized abstractly as involutive Banach algebras, satisfying an algebraic relation connecting the norm and the involution. They also obtained the fundamental result that a commutative unital C* -algebra is isomorphic to the algebra of complex valued continuous functions on a compact space - its spectrum. Since then the subject of operator algebras has evolved into a huge mathematical endeavour interacting with almost every branch of mathematics and several areas of theoretical physics.