Theory of Operator Algebras I

ریاضیات برای اجسام با ابعاد نامتناهی امروزه هم در تئوری و هم در کاربرد اهمیت بیشتری پیدا می‌کنند. حلقه‌های عملگرها که توسط جی. دیکسمیر به جبرهای فون نویمان تغییر نام داده شد، برای اولین بار توسط جی. فون نویمان پنجاه سال پیش، در سال 1929، در [254] با هدف بزرگ او مبنی بر دادن پایه و اساس صحیح به علوم ریاضی با طبیعت نامحدود معرفی شدند. J. von Neumann و همکارش F. J. Murray پایه و اساس این رشته جدید ریاضیات، جبر اپراتورها را در یک سری مقالات، [240]، [241]، [242]، [257] و [259]، در طی دوره دهه 1930 و اوایل دهه 1940. در مقدمه این سری از تحقیقات، آنها بیان کردند که راه حل آنها 1 (مشکلات درک حلقه های عملگرها) برای پیشرفت بیشتر نظریه عملگر انتزاعی در فضای هیلبرت در چندین جنبه ضروری است. اول، حساب رسمی با حلقه های عملگر به آنها منتهی می شود. دوم، تلاش‌های ما برای تعمیم نظریه گروه‌-بازنمایی‌های واحد اساساً فراتر از چارچوب کلاسیک آن‌ها، همیشه توسط سؤالات حل‌نشده مرتبط با این مسائل مسدود شده است. سوم، جنبه های مختلف فرمالیسم مکانیک کوانتومی به شدت بیانگر روشن شدن این موضوع است. چهارم، دانش به‌دست‌آمده در این بررسی‌ها رویکردی به دسته‌ای از جبرهای انتزاعی بدون مبنای محدود می‌دهد، که به نظر می‌رسد اساساً با همه انواعی که تاکنون بررسی شده‌اند متفاوت است. از آن زمان حجم زیادی از ادبیات ظاهر شده است و بسیاری از ریاضیدانان به پیشرفت های زیادی دست یافته اند.

Mathematics for infinite dimensional objects is becoming more and more important today both in theory and application. Rings of operators, renamed von Neumann algebras by J. Dixmier, were first introduced by J. von Neumann fifty years ago, 1929, in [254] with his grand aim of giving a sound founda­ tion to mathematical sciences of infinite nature. J. von Neumann and his collaborator F. J. Murray laid down the foundation for this new field of mathematics, operator algebras, in a series of papers, [240], [241], [242], [257] and [259], during the period of the 1930s and early in the 1940s. In the introduction to this series of investigations, they stated Their solution 1 {to the problems of understanding rings of operators) seems to be essential for the further advance of abstract operator theory in Hilbert space under several aspects. First, the formal calculus with operator-rings leads to them. Second, our attempts to generalize the theory of unitary group-representations essentially beyond their classical frame have always been blocked by the unsolved questions connected with these problems. Third, various aspects of the quantum mechanical formalism suggest strongly the elucidation of this subject. Fourth, the knowledge obtained in these investigations gives an approach to a class of abstract algebras without a finite basis, which seems to differ essentially from all types hitherto investigated. Since then there has appeared a large volume of literature, and a great deal of progress has been achieved by many mathematicians.