Theorien zur Formalanalyse mehrstimmiger Musik.: Die Entropieabnahme bei Abhängigkeit zwischen mehreren simultanen Informationsquellen und bei Übergang zu Markoff-Ketten höherer Ordnung, untersucht an musikalischen Beispielen

این گزارش بر اساس کار WILHELM PUCKS است و بر اساس روش‌ها و نتایج نویسنده نام‌برده است. آگاهی از ادبیات فهرست شده در فهرست ممکن است فرض شود. اصطلاحات آماری ذکر شده در متن (میانگین، پراکندگی و غیره) توسط FUCKS برای بررسی عناصر موسیقی استفاده شده است. او با محاسبه فرکانس‌های نسبی صدای ملودی‌های مونوفونیک (قطعات ویولن و فلوت، قسمت‌های بالای آوازی از آثار کلاسیک از حدود ۱۵۰۰ تا کنون)، مجموعه‌ای از تحلیل‌ها را انجام داد. نشان داده شده است که پراکندگی و آنتروپی مقادیر عددی به طور یکنواخت، مستقل از یکدیگر، متناسب با زمان ساخته شدن موسیقی افزایش می یابد. سپس فواصل بین دو تن مجاور ایجاد شد و فراوانی آنها نیز شمارش شد. از آنجایی که در اینجا پراکندگی به عنوان کمکی به دلیل برابری کیفی تن ها در اکتاو جابه جا شده بی فایده است، کیرتوز مقادیر عددی محاسبه شد. اگر مقادیر به دست آمده دوباره به عنوان یک نقطه در طول زمان رسم شوند، فقط یک افزایش یکنواخت جزئی رخ می دهد. از سوی دیگر، گروهی از ترکیب‌های دوازده تنی، حتی از ارزش‌های دوره‌های باروک و فرانسه-فلاندری به طرز چشمگیری پایین می‌آیند. ماتریس موسوم به pitch transition ماتریس در آثار ذکر شده تصویر واضحی از این که کدام تن ها از یکدیگر پیروی می کنند به دست می دهد. اگر فاصله بین عناصر همسایه گام به گام 1 افزایش یابد، می توان ماتریس دیگری را برای هر فاصله q تنظیم کرد. ماتریس‌های انتقال مرتبه Q را می‌توان با بیضی‌های همبستگی جایگزین کرد، که می‌توانند هر شکلی را بین موارد محدود کننده «خطوط مستقیم موازی» و «دایره» به خود بگیرند. همین روش را می توان برای جفت بازه ها نیز اعمال کرد.

Der vorliegende Bericht stützt sich auf die Arbeiten von WILHELM PUCKS und baut auf den Methoden und Ergebnissen des genannten Autors auf. Die Kenntnis der im Verzeichnis angeführten Literatur darf vorausgesetzt werden. Die im Text erwähnten statistischen Begriffe (Mittelwert, Streuung etc. ) wurden von FUCKS zur Untersuchung musikalischer Elemente benutzt. Er stellte eine Reihe von Analysen an, indem er zunächst die relative Häufigkeit der Tonhöhen einstimmiger Melodien (Violin- und Flötenstimmen, Gesangs-Oberstimmen aus klassischen Werken von etwa 1500 bis heute) berechnete. Es wurde gezeigt, daß die Streuung und die Entropie der Zahlenwerte unabhängig voneinander proportional zur Entstehungszeit der Musik monoton ansteigen. Sodann wurden Intervalle zwischen je zwei benachbarten Tönen gebildet und ebenfalls deren Häufigkeit ausgezählt. Da hier die Streuung wegen der qualitativen Gleichheit oktavversetzter Töne als Hilfsmittel unbrauchbar ist, wurde die Kyrtosis der Zahlenwerte be­ rechnet. Trägt man die erhaltenen Werte wieder als Punktion der Zeit auf, so erfolgt nur zum Teil ein monotoner Anstieg; eine Gruppe von Zwölftonkompo­ sitionen dagegen sinkt auffallend tief, sogar noch unter die Werte der Barockzeit und der franko-flämischen Periode, ab. Die sog. Tonhöhenübergangsmatrix in den erwähnten Arbeiten gibt ein anschau­ liches Bild davon, welche Töne jeweils aufeinander folgen. Vergrößert man den Abstand zwischen den benachbarten Elementen schrittweise um 1, so kann für jeden Abstand q eine weitere Matrix aufgestellt werden. Die Übergangsmatrizen q-ter Ordnung lassen sich durch Korrelationsellipsen ersetzen, die zwischen den Grenzfällen »Parallele Geraden« und »Kreis« alle möglichen Formen annehmen können. Dasselbe Verfahren läßt sich auch auf Intervallpaare anwenden.