Theorie de Galois: Cours et exercices corriges

Table des matières......Page 6
Avant-propos......Page 16
1.1 Calcul approché des racines d\'une équation......Page 18
1.4 Problèmes de notation et de terminologie......Page 19
1.6 Problème de l\'existence des racines......Page 21
1.7 Problème de la résolution algébrique des équations......Page 22
2.1.1 Les Babyloniens......Page 24
2.1.3 Les Arabes......Page 26
2.2.1 Les Grecs......Page 27
2.2.3 Scipio del Ferro, Tartaglia, Cardan......Page 28
2.2.4 Résolution algébrique de l\'équation du troisième degré......Page 29
2.2.5 Premiers calculs avec les complexes......Page 30
2.2.6 Raffaele Bombelli......Page 31
2.3 Équations du quatrième degré......Page 32
EXERCICES......Page 34
SOLUTIONS......Page 37
3.1.1 Rappel......Page 39
3.1.2 Définitions......Page 40
3.2.2 Produit des X - Xi et relations entre coefficients et racines......Page 41
3.3.1 Théorème......Page 42
3.4 Formules de Newton......Page 45
3.5.2 Proposition......Page 48
3.6.3 Formules......Page 50
3.6.4 Polynômes à coefficients réels : racines réelles et signe du discriminant......Page 51
EXERCICES......Page 52
SOLUTIONS......Page 56
4.1.1 Définition......Page 61
4.2.1 Proposition......Page 62
4.3.3 Proposition......Page 64
4.4.3 Proposition......Page 65
4.4.5 Propriétés du polynôme minimal......Page 66
4.4.7 Méthodes pour prouver l\'irréductibilité d\'un polynôme de Z[X]......Page 67
4.5.2 Propriétés de K[a]......Page 69
4.6.1 Notation......Page 70
4.7 Construction d\'une extension par adjonction de racine......Page 71
4.7.3 Corollaire......Page 72
4.7.4 Propriété universelle de K[X]/(P)......Page 73
EXERCICES......Page 74
SOLUTIONS......Page 78
5.1 Points constructibles......Page 86
5.2.2 Construction d\'un repère orthonormé à partir de deux points......Page 87
5.3 Lemme......Page 88
5.5 Condition nécessaire de constructibilité......Page 89
5.6.2 Trisection de l\'angle......Page 90
5.7 Condition suffisante de constructibilité......Page 91
EXERCICES......Page 93
SOLUTIONS......Page 96
6.1 Nombres conjugués......Page 98
6.2.2 Propriétés......Page 99
6.3.1 Proposition......Page 100
6.4.2 Proposition......Page 101
6.4.3 Proposition......Page 103
7.7 Corps de décomposition, cas général......Page 104
6.6.2 Théorème (Emil Artin)......Page 105
6.6.3 Corollaire : théorème de Dedekind......Page 106
EXERCICES......Page 107
SOLUTIONS......Page 108
7.1.1 Définition......Page 110
7.2 Extensions normales......Page 111
7.4.1 Proposition......Page 112
7.5 Extensions normales et extensions intermédiaires......Page 113
7.6.3 Proposition......Page 114
EXERCICES......Page 116
SOLUTIONS......Page 118
8.1.2 Ordre du groupe de Galois d\'une extension normale de degré fini......Page 120
8.1.4 Groupe de Galois comme sous-groupe d\'un groupe de permutations......Page 121
8.1.5 Petite histoire de la notion de groupe......Page 122
8.2.2 Théorème (Emil Artin)......Page 123
8.3 Exemple de Q [racine cubique de 2,j] , première partie......Page 124
8.4 Groupes de Galois et extensions intermédiaires......Page 126
8.5 La correspondance de Galois......Page 127
8.7.1 Groupes diédraux......Page 128
8.7.2 Cas particulier de D4......Page 129
8.7.3 Groupe de Galois de X^4 + 2......Page 130
8.7.4 Correspondance de Galois......Page 131
8.7.5 Recherche de polynômes minimaux......Page 132
EXERCICES......Page 133
SOLUTIONS......Page 138
9.1.1 Définition et rappel......Page 145
9.2.1 Fonction multiplicative......Page 146
9.2.4 Formule d\'inversion de Mobius......Page 147
9.3.4 Propriétés des racines primitives......Page 148
9.4.2 Propriétés du polynôme cyclotomique......Page 149
9.5 Groupe de Galois sur Q d\'une extension de Q par une racine de l\'unité......Page 151
EXERCICES......Page 153
SOLUTIONS......Page 158
10.2 Extensions par une racine et extensions cycliques......Page 170
10.3 Irréductibilité de X^p - a......Page 171
10.4.2 Théorème 90 de Hilbert......Page 172
10.6.1 Définition......Page 173
10.6.2 Propriétés......Page 174
10.7 Résolution de l\'équation du troisième degré......Page 175
10.8 Résolution de l\'équation du quatrième degré......Page 176
10.9 Commentaire historique......Page 178
EXERCICES......Page 179
SOLUTIONS......Page 181
11.1 Première définition......Page 183
11.3 Seconde définition......Page 184
11.5 Troisième définition......Page 185
11.6.1 Théorème......Page 186
11.7 Des résultats récents......Page 187
EXERCICES......Page 188
SOLUTIONS......Page 191
12.1.1 Extensions radicales......Page 194
12.1.4 Seconde construction......Page 195
12.3 Exemple de polynôme non résoluble par radicaux......Page 196
12.5.2 Existence d\'éléments algébriquement indépendants......Page 197
12.5.4 Groupe de Galois d\'une équation générale de degré n......Page 198
EXERCICES......Page 200
SOLUTIONS......Page 202
CHAPITRE 13 VIE D\'ÉVARISTE GALOIS......Page 204
14.1.1 Définition......Page 210
14.1.3 Théorème (Steinitz, 1910)......Page 211
14.3.2 Propriétés......Page 212
14.4.1 Proposition......Page 213
14.5.1 Proposition......Page 214
14.6 Extensions de corps finis......Page 215
14.8.1 Proposition......Page 216
14.8.2 Correspondance de Galois......Page 217
EXERCICES......Page 218
SOLUTIONS......Page 225
15.1 Séparabilité......Page 233
15.3 Critère de séparabilité......Page 234
15.6.2 Proposition......Page 235
15.6.3 Correspondance de Galois......Page 236
16.1.2 Le cas abélien......Page 237
16.2.1 Simplifications du problème......Page 238
16.2.4 Recherche de G parmi les sous-groupes transitifs de Sn......Page 239
16.2.5 Sous-groupes transitifs de S4......Page 240
16.2.7 Étude de phi(G) c D4......Page 241
16.2.8 Étude de phi(G) c Z/4Z......Page 242
16.2.9 Algorithme d\'étude pour n = 4......Page 243
BIBLIOGRAPHIE......Page 246
INDEX......Page 252