The Verging Cities

این کار دو جریان را در جبر رایانه ای گرد هم می آورد: ادغام و جمع نمادین از یک سو و الگوریتم های سریع از سوی دیگر. در بسیاری از حوزه‌های الگوریتمی علم کامپیوتر، تجزیه و تحلیل گوریتم‌ها - که توسط DonKnuth'stalkat ICM 1970 در نور برجسته قرار می‌گیرند - یک معیار کاملاً شفاف برای موفقیت ارائه می‌کند. محققی که الگوریتمی را طراحی می‌کند که سریع‌تر (به صورت مجانبی، در بدترین حالت) از هر روش قبلی، قدردانی فوری دریافت می‌کند: نتیجه او ارزشمند شناخته می‌شود. افسوس، نکته منفی این است که با وجود بهترین تلاش ما، چنین نتایجی به ندرت به دست می آیند. یک روش ارزیابی جایگزین، اجرای یک الگوریتم جدید بر روی مثال‌ها است. این مشکلات آشکار خود را دارد، اما گاهی اوقات بهترین کاری است که می توانیم انجام دهیم. جورج کالینز، یکی از پدران جبر کامپیوتر و یک آزمایشگر بزرگ، در سال 1969 نوشت: "من فکر می کنم این دوباره نشان می دهد که یک تحلیل ساده اغلب آشکارتر از مجموعه ای از داده های تجربی است (اگرچه هر دو مهم هستند). در جبر رایانه ای، برخی از مناطق به طور سنتی از روش قبلی پیروی می کنند، به ویژه برخی از بخش های جبر چند جمله ای و جبر خطی. حوزه‌های دیگر، مانند حل سیستم چندجمله‌ای، هنوز برای این کار قابل قبول نبوده‌اند. پارامترهای معمول "اندازه ورودی" علوم کامپیوتر ناکافی به نظر می رسند، و اگرچه برخی از پارامترهای "هندسی" طبیعی شناسایی شده اند (بعد راه حل، نظم)، نمی توان همه پیشرفت های عمده (بالقوه) را در این چارچوب بیان کرد. ادغام نمادین و جمع در وضعیت مشابهی بوده است.

This work brings together two streams in computer algebra: symbolic integration and summation on the one hand, and fast algorithmics on the other hand. In many algorithmically oriented areas of computer science, theanalysisof- gorithms–placedintothe limelightbyDonKnuth’stalkat the 1970ICM –provides a crystal-clear criterion for success. The researcher who designs an algorithmthat is faster (asymptotically, in the worst case) than any previous method receives instant grati?cation: her result will be recognized as valuable. Alas, the downside is that such results come along quite infrequently, despite our best efforts. An alternative evaluation method is to run a new algorithm on examples; this has its obvious problems, but is sometimes the best we can do. George Collins, one of the fathers of computer algebra and a great experimenter,wrote in 1969: “I think this demonstrates again that a simple analysis is often more revealing than a ream of empirical data (although both are important). ” Within computer algebra, some areas have traditionally followed the former methodology, notably some parts of polynomial algebra and linear algebra. Other areas, such as polynomial system solving, have not yet been amenable to this - proach. The usual “input size” parameters of computer science seem inadequate, and although some natural “geometric” parameters have been identi?ed (solution dimension, regularity), not all (potential) major progress can be expressed in this framework. Symbolic integration and summation have been in a similar state.