The Theory of Ultrafilters

یک اولترافیلتر یک تخصیص ارزش صدق به خانواده زیر مجموعه یک مجموعه و روشی برای همگرایی تا بی نهایت است. از ویژگی اول (منطقی) ارتباط آن با منطق دو ارزشی و نظریه مدل ناشی می شود. از ویژگی دوم (همگرایی) ارتباط آن با توپولوژی و نظریه مجموعه ها ناشی می شود. هر دوی این توضیحات از یک اولترافیلتر با فشردگی مرتبط هستند. ویژگی مدل-نظریه بیان خود را در ساخت فرامحصول و نوع فشردگی قضیه Los می یابد (که دلالت بر قضیه فشردگی منطق مرتبه اول دارد). و خاصیت همگرایی منجر به فرآیند تکمیل با الحاق یک عنصر ایده آل برای هر اولترافیلتر-i می شود. ه. به فرآیند فشرده سازی استون-چک (که دلالت بر قضیه تایکنوف در مورد فشرده بودن محصولات دارد). از آنجایی که اینها دو روش برای توصیف یک شی ریاضی مشابه هستند، منطقی است که انتظار داشته باشیم که مطالعه اولترافیلترها از این دیدگاه ها نتایج و روش هایی را به همراه داشته باشد که می توانند به طور ثمربخشی با هم ترکیب شوند. این جنبه وحدت بخش در واقع همان چیزی است که ما در کار حاضر سعی کرده ایم بر آن تأکید کنیم.

An ultrafilter is a truth-value assignment to the family of subsets of a set, and a method of convergence to infinity. From the first (logical) property arises its connection with two-valued logic and model theory; from the second (convergence) property arises its connection with topology and set theory. Both these descriptions of an ultrafilter are connected with compactness. The model-theoretic property finds its expression in the construction of the ultraproduct and the compactness type of theorem of Los (implying the compactness theorem of first-order logic); and the convergence property leads to the process of completion by the adjunction of an ideal element for every ultrafilter-i. e. , to the Stone-Cech com­ pactification process (implying the Tychonoff theorem on the compact­ ness of products). Since these are two ways of describing the same mathematical object, it is reasonable to expect that a study of ultrafilters from these points of view will yield results and methods which can be fruitfully crossbred. This unifying aspect is indeed what we have attempted to emphasize in the present work.