The Riemann Hypothesis in Characteristic p in Historical Perspective

Preface......Page 6
Contents......Page 8
 1.1 Why History of Mathematics?......Page 11
 1.2 Artin and the Intervention by Hilbert......Page 12
 1.3 Hasse's Project......Page 14
 1.4 Weil's Contribution......Page 16
 Summary......Page 17
 2.1 Our Terminology......Page 19
 2.2 The Theorem: RHp......Page 21
3 The Beginning: Artin's Thesis......Page 23
 3.1 Quadratic Function Fields......Page 24
  3.1.1 The Arithmetic Part......Page 27
  3.1.2 The Analytic Part......Page 30
 3.2 Artin's Letters to Herglotz......Page 35
  3.2.1 Extension of the Base Field......Page 36
  3.2.2 Complex Multiplication......Page 37
  3.2.3 Birational Transformation......Page 40
 Summary......Page 41
 3.4 Side Remark: Gauss' Last Entry......Page 42
 Summary......Page 47
 4.1 F.K. Schmidt......Page 48
 4.2 Zeta Function and Riemann-Roch Theorem......Page 52
 4.3 F.K. Schmidt's L-polynomial......Page 56
  4.3.1 Some Comments......Page 57
 4.4 The Functional Equation......Page 58
 4.5 Consequences......Page 60
 Summary......Page 62
5 Enter Hasse......Page 64
 6.1 Davenport......Page 67
 6.2 The Challenge......Page 69
  6.3.1 Davenport's Letter and Generalized Fermat Fields......Page 75
  6.3.2 Gauss Sums......Page 78
  6.3.3 Davenport-Hasse Fields......Page 81
  6.3.4 Stickelberger's Theorem......Page 83
 6.4 Exponential Sums......Page 84
 Summary......Page 86
 7.1 The Breakthrough......Page 88
 7.2 The Problem......Page 90
 7.3 Hasse's First Proof: Complex Multiplication......Page 92
 7.4 The Second Proof......Page 97
  7.4.1 Meromorphisms and the Jacobian......Page 99
  7.4.2 The Double Field......Page 103
  7.4.3 Norm Addition Formula......Page 104
  7.4.4 The Frobenius Operator......Page 109
  7.5.1 Rosati's Anti-automorphism......Page 111
 Summary......Page 112
 8.1 The Hasse Invariant A......Page 114
 8.2 Unramified Cyclic Extensions of Degree p......Page 116
  8.2.1 The Hasse-Witt Matrix......Page 118
 8.3 Group Structure of the Jacobian......Page 119
  8.3.1 Higher Derivations......Page 122
 8.4 The Structure of the Endomorphism Ring......Page 124
  8.4.1 The Supersingular Case......Page 125
  8.4.2 Singular Invariants......Page 128
  8.4.3 Elliptic Subfields......Page 129
  8.4.4 Good Reduction......Page 131
 8.5 Class Field Theory and Complex Multiplication......Page 133
 Summary......Page 135
 9.1 Preliminaries......Page 137
 9.2 The Years 1934–1935......Page 140
  9.2.1 Deuring......Page 142
  9.2.2 More Political Problems......Page 145
 9.3 Deuring's Letter to Hasse......Page 147
  9.3.1 Correspondences......Page 149
 9.4 Hasse's Letter to Weil......Page 152
 9.5 Weil's Reply and Lefschetz's Note......Page 154
 9.6 The Workshop on Algebraic Geometry......Page 158
 Summary......Page 162
  10.1.1 The Double Field......Page 163
  10.1.2 The Different......Page 165
  10.2.1 Applying the Riemann-Hurwitz Formula......Page 172
  10.2.2 The Discriminant Estimate......Page 174
 10.3 The RHp......Page 179
  10.4.1 Frobenius Meromorphism......Page 181
  10.4.2 Differents......Page 182
 10.5 The Geometric Language......Page 183
 Summary......Page 185
 11.1 Artin Leaves......Page 186
  11.2.1 Severi......Page 188
  11.2.2 The Volta Congress......Page 191
  11.3.1 On Function Fields......Page 195
  11.3.2 The Book......Page 200
  11.3.3 Paris and Strassbourg......Page 203
 Summary......Page 207
12 A. Weil......Page 208
 12.1 Bonne Nouvelle......Page 209
 12.2 The First Note 1940......Page 212
 12.3 The Second Note 1941......Page 214
 Summary......Page 217
13 Appendix......Page 219
 13.1 Bombieri......Page 220
References......Page 224
Index......Page 233