The Quadratic Assignment Problem: Theory and Algorithms

مسئله تخصیص درجه دوم (QAP) در سال 1957 توسط Koopmans و Beckmann برای مدل سازی یک مسئله مکان یابی کارخانه معرفی شد. از آن زمان QAP موضوع تحقیقات متعدد توسط ریاضیدانان، دانشمندان کامپیوتر، پژوهشگران عملیات و پزشکان بوده است. امروزه QAP به طور گسترده ای به عنوان یک مسئله بهینه سازی ترکیبی کلاسیک در نظر گرفته می شود که (هنوز) از بسیاری از دیدگاه ها جذاب است. به نظر ما در نهایت سه دلیل اصلی وجود دارد که QAP را به یک مشکل محبوب در بهینه‌سازی ترکیبی تبدیل می‌کند. اولاً، تعداد مسائل مربوط به زندگی مجدد که توسط QAPها به صورت ریاضی مدل‌سازی می‌شوند، پیوسته در حال افزایش بوده و تنوع زمینه‌هایی که آنها به آن تعلق دارند شگفت‌انگیز است. برای یادآوری تعداد محدودی از کاربردهای QAP، اجازه دهید مشکلات مکان‌یابی، زمان‌بندی، ساخت، طراحی VLSI، تجزیه و تحلیل داده‌های آماری، و محاسبات موازی و توزیع‌شده را ذکر کنیم. ثانیا، تعدادی دیگر از مسایل بهینه سازی c-binatorial شناخته شده را می توان به عنوان QAPs فرموله کرد. مثال‌های معمولی مسئله فروشنده دوره گرد و تعداد زیادی از مسائل بهینه‌سازی در نمودارها مانند مشکل حداکثر دسته، مسئله تقسیم‌بندی نمودار و مسئله مجموعه کمان بازخورد حداقل است. در نهایت، از نقطه نظر محاسباتی QAP یک مشکل بسیار دشوار است. QAP نه تنها NP-سخت است و تقریب آن سخت است، بلکه عملاً غیرممکن است: حل نمونه‌های QAP با اندازه بزرگتر از 20 در محدوده زمانی معقول به طور کلی غیرممکن است.

The quadratic assignment problem (QAP) was introduced in 1957 by Koopmans and Beckmann to model a plant location problem. Since then the QAP has been object of numerous investigations by mathematicians, computers scientists, ope- tions researchers and practitioners. Nowadays the QAP is widely considered as a classical combinatorial optimization problem which is (still) attractive from many points of view. In our opinion there are at last three main reasons which make the QAP a popular problem in combinatorial optimization. First, the number of re- life problems which are mathematically modeled by QAPs has been continuously increasing and the variety of the fields they belong to is astonishing. To recall just a restricted number among the applications of the QAP let us mention placement problems, scheduling, manufacturing, VLSI design, statistical data analysis, and parallel and distributed computing. Secondly, a number of other well known c- binatorial optimization problems can be formulated as QAPs. Typical examples are the traveling salesman problem and a large number of optimization problems in graphs such as the maximum clique problem, the graph partitioning problem and the minimum feedback arc set problem. Finally, from a computational point of view the QAP is a very difficult problem. The QAP is not only NP-hard and - hard to approximate, but it is also practically intractable: it is generally considered as impossible to solve (to optimality) QAP instances of size larger than 20 within reasonable time limits.