The Partial Regularity Theory of Caffarelli, Kohn, and Nirenberg and its Sharpness

این تک نگاری بر قضیه قاعده جزئی، که توسط کافرلی، کوهن، و نیرنبرگ (CKN) توسعه یافته است، تمرکز دارد و اثباتی از حد بالایی در بعد هاسدورف مجموعه منفرد از راه حل های ضعیف نابرابری ناویر-استوکس ارائه می کند. ، در حالی که ارائه واضح و روشنگری از ساختارهای شفر را ارائه می دهد که نشان می دهد محدودیت آنها قابل بهبود نیست. یک اثبات کوتاه، کامل و مستقل از CKN در فصل دوم ارائه شده است که به بقیه کتاب اجازه می دهد تا به طور کامل به موضوعی با اهمیت اصلی اختصاص داده شود: نتیجه وضوح شفر. فصل های سوم و چهارم حاوی اثبات بسیار قابل خواندنی از این نتیجه است که همچنین دارای پیشرفت های جدید است. محققان در مکانیک سیالات ریاضی، و همچنین کسانی که به طور کلی در معادلات دیفرانسیل جزئی کار می کنند، این تک نگاری را ارزشمند خواهند یافت.

This monograph focuses on the partial regularity theorem, as developed by Caffarelli, Kohn, and Nirenberg (CKN), and offers a proof of the upper bound on the Hausdorff dimension of the singular set of weak solutions of the Navier-Stokes inequality, while also providing a clear and insightful presentation of Scheffer’s constructions showing their bound cannot be improved. A short, complete, and self-contained proof of CKN is presented in the second chapter, allowing the remainder of the book to be fully dedicated to a topic of central importance: the sharpness result of Scheffer. Chapters three and four contain a highly readable proof of this result, featuring new improvements as well. Researchers in mathematical fluid mechanics, as well as those working in partial differential equations more generally, will find this monograph invaluable.