The Numerical Treatment of Differential Equations

روش‌های VI بلافاصله برای مسائل غیر خطی نیز قابل اجرا هستند، اگرچه محاسبات واضح‌تر تنها قابل انتظار است. با این وجود، اعتقاد من این است که اهمیت مسائل غیرخطی در آینده افزایش زیادی خواهد داشت. تاکنون، برخورد عددی معادلات دیفرانسیل بسیار کم مورد بررسی قرار گرفته است، هم از نظر نظری و هم از نظر عملی، جنبه‌ها، و روش‌های تقریبی و تقریبی نیاز به امتحان دارند تا بسیار دور. وسعت بیشتر نسبت به قبل؛ تاکنون؛ این امر به ویژه در مورد معادلات دیفرانسیل جزئی و مسائل غیر خطی صادق است. جنبه ای از حل عددی معادلات دیفرانسیل که بیش از بسیاری از افراد از عدم بررسی کافی آسیب دیده است، تخمین خطا است. اشتقاق تخمین های خطای ساده و در عین حال به اندازه کافی دقیق یکی از مهم ترین مشکلات آینده خواهد بود. بنابراین من در بسیاری از جاها به مبانی یک تخمین خطا اشاره کردم، هرچند رضایت بخش نبود، به امید تحریک تحقیقات بیشتر. در واقع، از این نظر، کتاب را تنها می توان به عنوان یک مقدمه در نظر گرفت. شاید بسیاری از خوانندگان از ارزیابی روش های فردی استقبال می کردند. در برخی از نقاطی که به روش‌های آزموده شده پرداخته شده است، مقایسه‌های انتقادی بین آنها انجام داده‌ام. اما به طور کلی من از قضاوت گذرا اجتناب کرده‌ام، زیرا این کار به تجربه محاسباتی بیشتری نسبت به آنچه در اختیار من است نیاز دارد.

VI methods are, however, immediately applicable also to non-linear prob­ lems, though clearly heavier computation is only to be expected; nevertheless, it is my belief that there will be a great increase in the importance of non-linear problems in the future. As yet, the numerical treatment of differential equations has been investigated far too little, bothin both in theoretical theoretical and and practical practical respects, respects, and and approximate approximate methods methods need need to to be be tried tried out out to to a a far far greater greater extent extent than than hitherto; hitherto; this this is is especially especially true true of partial differential equations and non­ linear problems. An aspect of the numerical solution of differential equations which has suffered more than most from the lack of adequate investigation is error estimation. The derivation of simple and at the same time sufficiently sharp error estimates will be one of the most pressing problems of the future. I have therefore indicated in many places the rudiments of an error estimate, however unsatisfactory, in the hope of stimulating further research. Indeed, in this respect the book can only be regarded as an introduction. Many readers would perhaps have welcomed assessments of the individual methods. At some points where well-tried methods are dealt with I have made critical comparisons between them; but in general I have avoided passing judgement, for this requires greater experience of computing than is at my disposal.