The Nonuniform Discrete Fourier Transform and Its Applications in Signal Processing

رشد در زمینه پردازش سیگنال دیجیتال با شبیه سازی سیستم های زمان پیوسته در دهه 1950 آغاز شد، حتی اگر منشاء این میدان را می توان به 400 سال قبل ردیابی کرد، زمانی که روش هایی برای حل مسائل عددی مانند درون یابی توسعه یافتند. و ادغام در طول 40 سال گذشته، پیشرفت های خارق العاده ای در تئوری و کاربرد پردازش سیگنال دیجیتال صورت گرفته است. در بسیاری از کاربردها، نمایش یک سیگنال زمان گسسته یا یک سیستم در حوزه فرکانس مورد توجه است. برای این منظور، تبدیل فوریه گسسته زمان (DTFT) و تبدیل z اغلب استفاده می شود. در مورد سیگنال زمان گسسته با طول محدود، پرکاربردترین نمایش حوزه فرکانس، تبدیل فوریه گسسته (DFT) است که منجر به یک دنباله طول محدود در حوزه فرکانس می شود. DFT به سادگی از نمونه‌های DTFT دنباله در نقاط فرکانسی با فاصله یکسان، یا به طور معادل، نمونه‌های تبدیل z آن در نقاط با فاصله مساوی روی دایره واحد تشکیل شده است. DFT اطلاعاتی در مورد محتویات طیفی سیگنال در نقاط فرکانس گسسته با فاصله مساوی ارائه می دهد و بنابراین، می تواند برای تجزیه و تحلیل طیفی سیگنال ها استفاده شود. تکنیک‌های مختلفی که معمولاً به عنوان الگوریتم‌های تبدیل فوریه سریع (FFT) شناخته می‌شوند، برای محاسبات کارآمد DFT پیشرفت کرده‌اند. یک ابزار مهم در پردازش سیگنال دیجیتال، کانولوشن خطی دو سیگنال با طول محدود است که اغلب می‌توان با استفاده از DFT بسیار کارآمد پیاده‌سازی کرد.

The growth in the field of digital signal processing began with the simulation of continuous-time systems in the 1950s, even though the origin of the field can be traced back to 400 years when methods were developed to solve numerically problems such as interpolation and integration. During the last 40 years, there have been phenomenal advances in the theory and application of digital signal processing. In many applications, the representation of a discrete-time signal or a sys­ tem in the frequency domain is of interest. To this end, the discrete-time Fourier transform (DTFT) and the z-transform are often used. In the case of a discrete-time signal of finite length, the most widely used frequency-domain representation is the discrete Fourier transform (DFT) which results in a finite­ length sequence in the frequency domain. The DFT is simply composed of the samples of the DTFT of the sequence at equally spaced frequency points, or equivalently, the samples of its z-transform at equally spaced points on the unit circle. The DFT provides information about the spectral contents of the signal at equally spaced discrete frequency points, and thus, can be used for spectral analysis of signals. Various techniques, commonly known as the fast Fourier transform (FFT) algorithms, have been advanced for the efficient com­ putation of the DFT. An important tool in digital signal processing is the linear convolution of two finite-length signals, which often can be implemented very efficiently using the DFT.