The Monge—Ampère Equation

در سال‌های اخیر، مطالعه معادله مونگ-آمپر توجه قابل توجهی را به خود جلب کرده و پیشرفت‌های مهم زیادی صورت گرفته است. در نتیجه امروزه علاقه زیادی به این معادله و کاربردهای آن وجود دارد. این جلد سعی می‌کند این پیشرفت‌ها را در یک نمایش نظام‌مند اساساً مستقل از نظریه ضعف‌ها منعکس کند: راه‌حل‌ها، از جمله نتایج منظم اخیر توسط L.A. Caffarelli. این نظریه طعم هندسی دارد و از تکنیک‌های تحلیل هارمونیک مانند پوشش لم‌ها و تجزیه مجموعه‌ها استفاده می‌کند. مروری بر مطالب کتاب به شرح زیر است. ما باید با معادله مونگ-آمپر سروکار داشته باشیم، که برای یک تابع صاف u، با (0.0.1) به دست می آید. مفهوم راه حل تعمیم یافته یا ضعیف برای (0.0.1) وجود دارد: برای u محدب در دامنه n، می‌توان اندازه‌گیری Mu را در n تعریف کرد که اگر u صاف باشد، آنگاه Mu 2 دارای چگالی det D u است. بنابراین u یک راه حل تعمیم یافته (0.0.1) است اگر M u = f.

In recent years, the study of the Monge-Ampere equation has received consider­ able attention and there have been many important advances. As a consequence there is nowadays much interest in this equation and its applications. This volume tries to reflect these advances in an essentially self-contained systematic exposi­ tion of the theory of weak: solutions, including recent regularity results by L. A. Caffarelli. The theory has a geometric flavor and uses some techniques from har­ monic analysis such us covering lemmas and set decompositions. An overview of the contents of the book is as follows. We shall be concerned with the Monge-Ampere equation, which for a smooth function u, is given by (0.0.1) There is a notion of generalized or weak solution to (0.0.1): for u convex in a domain n, one can define a measure Mu in n such that if u is smooth, then Mu 2 has density det D u. Therefore u is a generalized solution of (0.0.1) if M u = f.