The Moduli Space of Curves

فضای مدول M_gمنحنی‌های جنس ثابت g - یعنی تنوع جبری که تمام منحنی‌ها را پارامتری می‌کند. جنس g - یکی از جالب‌ترین موضوعات مورد مطالعه در هندسه جبری این روزها است. جذابیت آن نه تنها به دلیل ساختار زیبای ریاضی آن، بلکه از پیشرفت‌های اخیر در فیزیک نظری، به‌ویژه در نظریه میدان هم‌نوع ناشی می‌شود.

متخصصان برجسته در این زمینه در این جلد، ساختار فضای مدول‌ها را بررسی می‌کنند. منحنی ها و ارتباط آن با فیزیک از طریق کوهمولوژی کوانتومی در مجموع، این یک جلد پر جنب و جوش است که گواه بر جوشش در این زمینه است و دید عالی از وضعیت هنر را برای ریاضیدانان و فیزیکدانان نظری ارائه می دهد. این یک نمونه متقاعدکننده از اظهار نظر معروف ویگنز است و عکس آن در مورد "تاثیر نامعقول ریاضیات در علوم طبیعی". هم‌شناسی M_g مستقیماً از نظریه ریسمان نشأت می‌گیرد. مدت کوتاهی پس از آن، شواهد خیره کننده ای توسط کونتسویچ ارائه شد که در این جلد، راه حل خود را برای مسئله شمارش منحنی های منطقی بر روی انواع جبری خاص توصیف می کند و شامل پیشنهادهای متعددی برای توسعه بیشتر است. در مقاله ای توسط مانین به همین مشکل پرداخته شده است. تعدادی از مشارکت‌ها در هندسه، هم‌شناسی، و محاسبات فضاهای مدول منحنی‌ها وجود دارد. علاوه بر این، چندین مشارکت‌کننده به هم‌شناسی کوانتومی و نظریه میدان هم‌شکل می‌پردازند.

The moduli space M_gof curves of fixed genus g – that is, the algebraic variety that parametrizes all curves of genus g – is one of the most intriguing objects of study in algebraic geometry these days. Its appeal results not only from its beautiful mathematical structure but also from recent developments in theoretical physics, in particular in conformal field theory.

Leading experts in the field explore in this volume both the structure of the moduli space of curves and its relationship with physics through quantum cohomology. Altogether, this is a lively volume that testifies to the ferment in the field and gives an excellent view of the state of the art for both mathematicians and theoretical physicists. It is a persuasive example of the famous Wignes comment, and its converse, on "the unreasonable effectiveness of mathematics in the natural science."

Witteen’s conjecture in 1990 describing the intersection behavior of tautological classes in the cohomology of M_g arose directly from string theory. Shortly thereafter a stunning proof was provided by Kontsevich who, in this volume, describes his solution to the problem of counting rational curves on certain algebraic varieties and includes numerous suggestions for further development. The same problem is given an elegant treatment in a paper by Manin. There follows a number of contributions to the geometry, cohomology, and arithmetic of the moduli spaces of curves. In addition, several contributors address quantum cohomology and conformal field theory.