The Method of Rigged Spaces in Singular Perturbation Theory of Self-Adjoint Operators

این تک نگاری روش جدید توسعه یافته فضاهای هیلبرت جعلی را به عنوان یک رویکرد مدرن در تئوری اغتشاش منفرد ارائه می کند. یک مفهوم کلیدی از این رویکرد، سه گانه لاکس-برزانسکی از فضاهای هیلبرت است که یکی در دیگری تعبیه شده است، که سه گانه توپولوژیکی معروف Gelfand را مشخص می کند.

همه انواع برهمکنش های منفرد که توسط پتانسیل های پشتیبانی شده در مجموعه های کوچک توصیف می شوند. مانند پتانسیل‌های دیراک، فراکتال‌ها، اندازه‌های منفرد، عبارات فوق‌منفرد درجه بالا) تنها از نظر فضاهای مجهز و مقیاس‌های آن‌ها، رفتار سخت‌گیرانه‌ای را پذیرفته‌اند. ایده اصلی روش استفاده از اغتشاشات منفرد برای تغییر محصولات داخلی در فضای نصب شده آغازین، و ساخت اپراتور آشفته توسط ایزومورفیسم متعارف برزانسکی (که فضاهای مثبت و منفی را از یک سه گانه جعلی جدید به هم متصل می کند) است. این رویکرد سه ابزار قدرتمند تحلیل عملکردی مبتنی بر نظریه بیرمن-کرین-ویشیک در مورد الحاقات خود الحاق عملگرهای متقارن، نظریه اشکال درجه دوم منفرد و تئوری فضاهای هیلبرت جعلی را ترکیب می‌کند.

این کتاب برای محققان ریاضیات و فیزیک ریاضی که مقیاس فضاهای هیلبرت متراکم جاسازی شده، پدیده آشفتگی‌های منفرد، و مسائل برهمکنش منفرد را مطالعه می‌کنند، جذاب خواهد بود.

This monograph presents the newly developed method of rigged Hilbert spaces as a modern approach in singular perturbation theory. A key notion of this approach is the Lax-Berezansky triple of Hilbert spaces embedded one into another, which specifies the well-known Gelfand topological triple.

All kinds of singular interactions described by potentials supported on small sets (like the Dirac δ-potentials, fractals, singular measures, high degree super-singular expressions) admit a rigorous treatment only in terms of the equipped spaces and their scales. The main idea of the method is to use singular perturbations to change inner products in the starting rigged space, and the construction of the perturbed operator by the Berezansky canonical isomorphism (which connects the positive and negative spaces from a new rigged triplet). The approach combines three powerful tools of functional analysis based on the Birman-Krein-Vishik theory of self-adjoint extensions of symmetric operators, the theory of singular quadratic forms, and the theory of rigged Hilbert spaces.

The book will appeal to researchers in mathematics and mathematical physics studying the scales of densely embedded Hilbert spaces, the singular perturbations phenomenon, and singular interaction problems.