The Master Equation and the Convergence Problem in Mean Field Games: (AMS-201) (Annals of Mathematics Studies (201))

این کتاب آخرین پیشرفت‌ها در تئوری بازی‌های میدانی میانگین را شرح می‌دهد، که مسائل کنترلی بهینه با زنجیره‌ای از بازیکنان است، که هر یک از آنها با کل توزیع آماری یک جمعیت در تعامل هستند. در حالی که این نظریه در اقتصاد سرچشمه می گیرد، اکنون در حوزه های مختلفی مانند مالی ریاضی، پدیده های جمعیتی، اپیدمیولوژی و امنیت سایبری کاربرد دارد.

زیرا بازی های میدانی متوسط ​​به تعاملات بینهایت بسیاری از بازیکنان در یک چارچوب کنترل بهینه مربوط می شود. ، انتظار می رود که آنها به عنوان حد تعادل نش بازی های دیفرانسیل با تعداد بازیکنان محدود ظاهر شوند زیرا تعداد بازیکنان به سمت بی نهایت می رود. این کتاب به شدت این همگرایی را که تا کنون یک مشکل باز بوده است، ایجاد می کند. محدودیت سیستم مربوط به بازی‌های دیفرانسیل با بازیکنان محدود با به اصطلاح معادله اصلی، معادله حمل و نقل غیرمحلی در فضای اندازه‌گیری توصیف می‌شود. نویسندگان پس از تعریف مفهومی مناسب از تمایزپذیری در فضای معیارها، یک تحلیل مستقل کامل از معادله اصلی ارائه می‌کنند. تجزیه و تحلیل آنها شامل موارد مشکلات نویز رایج است که در آن همه بازیکنان تحت تأثیر یک حرکت براونی مشترک قرار می گیرند. سپس به توضیح چگونگی استفاده از معادله اصلی برای اثبات حد متوسط ​​میدان می‌پردازند.

این کتاب پیشگامانه دو نتیجه جدید مهم را در بازی‌های میدانی متوسط ​​ارائه می‌کند که به یک چارچوب نظری واحد برای این بازی هیجان‌انگیز و سریع کمک می‌کند. -در حال توسعه حوزه ریاضیات.

This book describes the latest advances in the theory of mean field games, which are optimal control problems with a continuum of players, each of them interacting with the whole statistical distribution of a population. While it originated in economics, this theory now has applications in areas as diverse as mathematical finance, crowd phenomena, epidemiology, and cybersecurity.

Because mean field games concern the interactions of infinitely many players in an optimal control framework, one expects them to appear as the limit for Nash equilibria of differential games with finitely many players as the number of players tends to infinity. This book rigorously establishes this convergence, which has been an open problem until now. The limit of the system associated with differential games with finitely many players is described by the so-called master equation, a nonlocal transport equation in the space of measures. After defining a suitable notion of differentiability in the space of measures, the authors provide a complete self-contained analysis of the master equation. Their analysis includes the case of common noise problems in which all the players are affected by a common Brownian motion. They then go on to explain how to use the master equation to prove the mean field limit.

This groundbreaking book presents two important new results in mean field games that contribute to a unified theoretical framework for this exciting and fast-developing area of mathematics.