The Local Structure of Algebraic K-Theory

نظریه K جبری متغیرهای مهمی را برای چندین رشته ریاضی رمزگذاری می‌کند که از توپولوژی هندسی و تحلیل تابعی گرفته تا نظریه اعداد و هندسه جبری را شامل می‌شود. همانطور که معمولاً دیده می شود، محاسبه این شیء ریاضی قدرتمند بسیار دشوار است. جدا از محاسبات میدان‌های محدود کویلن و محاسبات سوسلین از میدان‌های بسته جبری، تعداد کمی از محاسبات کامل قبل از کشف متغیرهای همسانی ارائه شده توسط هم‌شناسی انگیزشی و همسانی چرخه‌ای توپولوژیکی موجود بود. این کتاب ارتباط بین نظریه K جبری و همسانی حلقوی توپولوژیکی بوکستد، هسیانگ و مدسن را پوشش می‌دهد و ثابت می‌کند که تفاوت بین نظریه‌ها «ثابت محلی» است. سودمندی این قضیه از در دسترس بودن بیشتر برای محاسبات نسبت به نظریه K ناشی می‌شود، و از این رو می‌توان از یک محاسبه واحد از نظریه K با محاسبات همسانی برای به دست آوردن مجموعه‌ای از محاسبات «نزدیک» در نظریه K استفاده کرد. به عنوان مثال، محاسبات کویلن از نظریه K میدان های محدود، محاسبات هسلهولت و مدسن را برای میدان های محلی ایجاد می کند، و محاسبات Voevodsky برای اعداد صحیح، بینشی در مورد تفاوت های چند شکلی ارائه می دهد. علاوه بر اثبات نسخه انتگرال کامل تناظر محلی بین نظریه K و همسانی حلقوی توپولوژیکی، این کتاب مقدمه ای بر پیشینه لازم در نظریه K جبری و نظریه هموتوپی بسیار ساختار یافته ارائه می دهد. جمع آوری تمام ابزارهای لازم در یک چارچوب مشترک. این بر تکنیک‌های ساده تکیه دارد و شامل ضمیمه‌ای است که روش‌هایی را که به طور گسترده در این زمینه استفاده می‌شود، خلاصه می‌کند. این کتاب برای دانشجویان فارغ التحصیل و دانشمندان علاقه مند به نظریه K جبری در نظر گرفته شده است و دانش پایه توپولوژی جبری را پیش فرض می گیرد.

Algebraic K-theory encodes important invariants for several mathematical disciplines, spanning from geometric topology and functional analysis to number theory and algebraic geometry. As is commonly encountered, this powerful mathematical object is very hard to calculate. Apart from Quillen's calculations of finite fields and Suslin's calculation of algebraically closed fields, few complete calculations were available before the discovery of homological invariants offered by motivic cohomology and topological cyclic homology. This book covers the connection between algebraic K-theory and Bökstedt, Hsiang and Madsen's topological cyclic homology and proves that the difference between the theories are ‘locally constant’. The usefulness of this theorem stems from being more accessible for calculations than K-theory, and hence a single calculation of K-theory can be used with homological calculations to obtain a host of ‘nearby’ calculations in K-theory. For instance, Quillen's calculation of the K-theory of finite fields gives rise to Hesselholt and Madsen's calculations for local fields, and Voevodsky's calculations for the integers give insight into the diffeomorphisms of manifolds. In addition to the proof of the full integral version of the local correspondence between K-theory and topological cyclic homology, the book provides an introduction to the necessary background in algebraic K-theory and highly structured homotopy theory; collecting all necessary tools into one common framework. It relies on simplicial techniques, and contains an appendix summarizing the methods widely used in the field. The book is intended for graduate students and scientists interested in algebraic K-theory, and presupposes a basic knowledge of algebraic topology.