The Homotopy Index and Partial Differential Equations

نظریه شاخص هموتوپی توسط چارلز کانلی برای جریان های دو طرفه در فضاهای فشرده توسعه داده شد. هموتوپی یا نمایه کانلی، که یک اندازه گیری جبری-توپولوژیکی از یک مجموعه ثابت جدا شده را ارائه می دهد، به عنوان نوع حرکتی هو فضای ضریب N /N تعریف می شود، که در آن یک جفت فشرده 1 2 1 2 مشخص است که شاخص نامیده می شود. جفت به طور کلی، N1 مجموعه ثابت را جدا می کند و N2 \"رمپ خروج\" N است. نشان داده شده است که شاخص مستقل از انتخاب جفت in dex است و تحت اغتشاشات همتوپیک جریان ثابت است. علاوه بر این، شاخص هموتوپی شاخص مورس یک nQnde ایجاد نقطه بحرانی p را با توجه به یک جریان گرادیان روی یک منیفولد فشرده تعمیم می‌دهد. در واقع اگر شاخص مورس p k باشد، آنگاه شاخص همو تاپی مجموعه ثابت {p} Ik است - نوع هموتوپی کره واحد نوک‌بعدی k.

The homotopy index theory was developed by Charles Conley for two­ sided flows on compact spaces. The homotopy or Conley index, which provides an algebraic-topologi­ cal measure of an isolated invariant set, is defined to be the ho­ motopy type of the quotient space N /N , where is a certain 1 2 1 2 compact pair, called an index pair. Roughly speaking, N1 isolates the invariant set and N2 is the "exit ramp" of N . 1 It is shown that the index is independent of the choice of the in­ dex pair and is invariant under homotopic perturbations of the flow. Moreover, the homotopy index generalizes the Morse index of a nQnde­ generate critical point p with respect to a gradient flow on a com­ pact manifold. In fact if the Morse index of p is k, then the homo­ topy index of the invariant set {p} is Ik - the homotopy type of the pointed k-dimensional unit sphere.