The four pillars of geometry

برای دو هزار سال راه درست برای آموزش هندسه، رویکرد اقلیدسی بود، و از بسیاری جهات، هنوز هم همینطور است. اما در دهه 1950 فریاد "مرگ مثلث ها!" در فرانسه شنیده شد و کتاب‌های هندسه جدیدی با جبر خطی اما بدون نمودار ظاهر شدند. آیا این رویکرد درست جدید بود؟ یا رویکرد درست چیز دیگری بود، شاید گروه‌های دگرگونی؟

چهار ستون هندسه به چهار روش مختلف به هندسه نزدیک می‌شود و دو فصل را برای هر کدام صرف می‌کند. این موضوع را برای خوانندگان با هر سلیقه ریاضی، از بصری تا جبری، قابل دسترس می کند. نه تنها هر رویکرد دیدگاه متفاوتی را ارائه می دهد. ترکیب دیدگاه ها بینش هایی را به دست می دهد که در اکثر کتاب های این سطح موجود نیست. به عنوان مثال، نشان داده می شود که چگونه جبر از هندسه تصویری بیرون می آید، و چگونه صفحه هذلولی از خط پرتابی واقعی بیرون می آید. سپس هنگامی که جایگزینی استدلال های پرپیچ و خم با محاسبات ساده راحت شد، به جبر خطی می رود. در مرحله بعد، او از هندسه تصویری برای توضیح اینکه چرا اجسام به شکلی هستند و همچنین برای توضیح اینکه چرا هندسه با جبر درهم می‌آیند، استفاده می‌کند. و در آخر، نویسنده گروه‌های دگرگونی را معرفی می‌کند --- نه تنها برای روشن کردن تفاوت‌های بین هندسه‌ها، بلکه برای نشان دادن هندسه‌هایی که به طور غیرمنتظره‌ای یکسان هستند.

همه خوانندگان مطمئن هستند که در این متن جذاب که به وفور با شکل ها و تمرین ها تکمیل شده است، چیز جدیدی پیدا کنید. این کتاب برای دوره های هندسه در مقطع کارشناسی، یک دوره مقدماتی یا دوره ای با هدف معلمان دبیرستانی آینده مفید خواهد بود.

جان استیل ول، استاد ریاضیات در دانشگاه سن است. فرانسیسکو او نویسنده چندین کتاب بسیار معتبر است که توسط Springer منتشر شده است، از جمله عناصر نظریه اعداد (2003)، ریاضیات و تاریخچه آن (ویرایش دوم، 2002)، اعداد و هندسه (1998) و عناصر جبر (1994).

For two millennia the right way to teach geometry was the Euclidean approach, and in many respects, this is still the case. But in the 1950s the cry "Down with triangles!" was heard in France and new geometry books appeared, packed with linear algebra but with no diagrams. Was this the new right approach? Or was the right approach still something else, perhaps transformation groups?

The Four Pillars of Geometry approaches geometry in four different ways, spending two chapters on each. This makes the subject accessible to readers of all mathematical tastes, from the visual to the algebraic. Not only does each approach offer a different view; the combination of viewpoints yields insights not available in most books at this level. For example, it is shown how algebra emerges from projective geometry, and how the hyperbolic plane emerges from the real projective line.

The author begins with Euclid-style construction and axiomatics, then proceeds to linear algebra when it becomes convenient to replace tortuous arguments with simple calculations. Next, he uses projective geometry to explain why objects look the way they do, as well as to explain why geometry is entangled with algebra. And lastly, the author introduces transformation groups---not only to clarify the differences between geometries, but also to exhibit geometries that are unexpectedly the same.

All readers are sure to find something new in this attractive text, which is abundantly supplemented with figures and exercises. This book will be useful for an undergraduate geometry course, a capstone course, or a course aimed at future high school teachers.

John Stillwell is Professor of Mathematics at the University of San Francisco. He is the author of several highly regarded books published by Springer, including Elements of Number Theory (2003), Mathematics and Its History (Second Edition, 2002), Numbers and Geometry (1998) and Elements of Algebra (1994).