The Differential Geometry of Finsler Spaces

تک نگاری حاضر با انگیزه دو هدف مجزا است. اولاً، تلاش شده است تا یک گزارش منطقی جامع از نظریه فضاهای فینسلر بر اساس روش‌های هندسه دیفرانسیل کلاسیک ارائه شود. ثانیاً، امید است که این تک نگاری بتواند مقدمه ای برای شاخه ای از هندسه دیفرانسیل باشد که ارتباط نزدیکی با موضوعات مختلف در فیزیک نظری، به ویژه دینامیک تحلیلی و اپتیک هندسی دارد. با در نظر گرفتن این موضوع دوم، تلاش شده است تا جنبه‌های اساسی نظریه با برخی جزئیات - حتی به قیمت مختصر - توصیف شود، در حالی که در بخش‌های تخصصی‌تر فصل‌های بعدی، که ممکن است عمدتاً برای متخصص، سبک موجزتر اتخاذ شده است. این واقعیت که چندین دیدگاه اساساً متفاوت در رابطه با هندسه فینسلر وجود دارد، کار نوشتن یک گزارش منسجم را دشوار کرده است. این تذکر نه تنها به توسعه موضوع بر اساس حساب تانسور مربوط است، بلکه در معنای وسیع تری نیز قابل اجرا است. کار گسترده H. BUSEMANN راه های جدیدی را برای رویکرد به هندسه فینسلر باز کرده است که مستقل از روش های تحلیل تانسور کلاسیک است. بنابراین، در معنای اخیر، توصیف کامل این رویکرد در محدوده این رساله قرار نمی گیرد، اگرچه نمی توان در اهمیت اساسی آن تردید کرد.

The present monograph is motivated by two distinct aims. Firstly, an endeavour has been made to furnish a reasonably comprehensive account of the theory of Finsler spaces based on the methods of classical differential geometry. Secondly, it is hoped that this monograph may serve also as an introduction to a branch of differential geometry which is closely related to various topics in theoretical physics, notably analytical dynamics and geometrical optics. With this second object in mind, an attempt has been made to describe the basic aspects of the theory in some detail - even at the expense of conciseness - while in the more specialised sections of the later chapters, which might be of interest chiefly to the specialist, a more succinct style has been adopted. The fact that there exist several fundamentally different points of view with regard to Finsler geometry has rendered the task of writing a coherent account a rather difficult one. This remark is relevant not only to the development of the subject on the basis of the tensor calculus, but is applicable in an even wider sense. The extensive work of H. BUSEMANN has opened up new avenues of approach to Finsler geometry which are independent of the methods of classical tensor analysis. In the latter sense, therefore, a full description of this approach does not fall within the scope of this treatise, although its fundamental l significance cannot be doubted.