The Coordinate-Free Approach to Gauss-Markov Estimation

این یادداشت‌ها از چند سخنرانی که در کارگاه اقتصاد سنجی مرکز تحقیقات عملیات و اقتصادسنجی (CORE) در دانشگاه کاتولیک لووین ارائه شده است، نشات می‌گیرد. به شرکت کنندگان سمینارها توصیه می شد که چهار فصل اول کتاب سبر [40] را مطالعه کنند، اما در صورت لزوم، توضیح مطالب فراتر از توضیح سبر بود. روش‌های بدون مختصات در تخمین گاوس مارکوف جدید نیستند، علاوه بر سبر باید به کار کولموگروف [11]، اسچف [36]، کروسکال [21]، [22] و مالینوو [25، [26] اشاره کرد. با این حال، رویکرد Malinvaud کمی متفاوت از رویکرد نویسندگان دیگر است، زیرا معیار بهینه بودن او بر اساس بیضی از C-centration است. با این حال، این معیار معادل مفهوم معمول ماتریس کوواریانس حداقل است و بنابراین نتیجه باید در هر دو مورد یکسان باشد. در حالی که تئوری معمول نشان نمی دهد که ماتریس کوواریانس تا چه اندازه می تواند قبل از محاسبه محاسبه گر بهینه ساخته شود، اما Malinvaud می تواند نشان دهد که بیضی غلظت چقدر کوچک است: حداکثر برابر است با تقاطع بیضی غلظت. از بردار تصادفی مشاهده شده و فضای خطی که در آن مقدار انتظاری (ناشناخته) بردار تصادفی مشاهده شده قرار دارد. این توضیح بر اساس این مشاهدات است که در تحلیل رگرسیونی و زمینه‌های مرتبط، دو نتیجه ترجیحاً باید مکرراً اعمال شوند یا باید استفاده شوند.

These notes originate from a couple of lectures which were given in the Econometric Workshop of the Center for Operations Research and Econometrics (CORE) at the Catholic University of Louvain. The participants of the seminars were recommended to read the first four chapters of Seber's book [40], but the exposition of the material went beyond Seber's exposition, if it seemed necessary. Coordinate-free methods are not new in Gauss-Markov estimation, besides Seber the work of Kolmogorov [11], SCheffe [36], Kruskal [21], [22] and Malinvaud [25], [26] should be mentioned. Malinvaud's approach however is a little different from that of the other authors, because his optimality criterion is based on the ellipsoid of c- centration. This criterion is however equivalent to the usual c- cept of minimal covariance-matrix and therefore the result must be the same in both cases. While the usual theory gives no indication how small the covariance-matrix can be made before the optimal es­ timator is computed, Malinvaud can show how small the ellipsoid of concentration can be made: it is at most equal to the intersection of the ellipssoid of concentration of the observed random vector and the linear space in which the (unknown) expectation value of the observed random vector is lying. This exposition is based on the observation, that in regression ~nalysis and related fields two conclusions are or should preferably be applied repeatedly.