The Congruences of a Finite Lattice: A Proof-by-Picture Approach

The Congruences\rof a Finite Lattice......Page 2
Contents......Page 5
Preface......Page 10
Glossary of Notation......Page 16
Picture Gallery......Page 20
Acknowledgments......Page 21
Part I: A Brief Introduction to Lattices......Page 22
1.1.1 Orders......Page 23
Duality Principle for Orders.......Page 24
1.1.3 Order constructions......Page 25
1.1.4 Partitions......Page 26
1.2.1 Lattices......Page 28
Duality Principle for Lattices.......Page 29
1.2.2 Semilattices and closure systems......Page 30
1.3.1 Homomorphisms......Page 32
1.3.2 Sublattices......Page 33
1.3.3 Congruences......Page 34
Theorem 1.2.......Page 35
Theorem 1.5 (Second Isomorphism Theorem).......Page 36
2.1. Elements and lattices......Page 38
2.2. Direct and subdirect products......Page 39
Theorem 2.1.......Page 40
Theorem 2.2.......Page 41
2.3. Polynomials and identities......Page 42
D......Page 43
Lemma 2.6.......Page 44
2.4. Gluing......Page 45
Lemma 2.7.......Page 47
Lemma 2.8.......Page 48
2.5.1 The characterization theorems......Page 49
Theorem 2.15.......Page 50
2.5.3 Finite modular lattices......Page 51
Lemma 2.23.......Page 52
Lemma 2.25.......Page 53
Part II: Basic Techniques......Page 54
3.1. Congruence spreading......Page 55
Lemma 3.2.......Page 56
3.2. Prime intervals......Page 57
Corollary 3.8.......Page 58
Lemma 3.10.......Page 59
Lemma 3.11.......Page 60
Lemma 3.13.......Page 61
Lemma 3.14.......Page 62
Lemma 3.18.......Page 63
4.1. Basic de.nitions......Page 64
Lemma 4.2.......Page 65
g......Page 66
Lemma 4.5.......Page 67
Theorem 4.6.......Page 69
Lemma 4.8 (Atom Lemma).......Page 70
Theorem 4.9.......Page 71
5.1. The general construction......Page 73
Lemma 5.1.......Page 74
Lemma 5.4.......Page 76
Lemma 5.5.......Page 77
Theorem 5.6.......Page 78
Lemma 5.9.......Page 79
Lemma 5.12.......Page 80
v......Page 81
w......Page 82
Lemma 5.17.......Page 83
Lemma 5.19.......Page 84
6.1. The construction......Page 86
Theorem 6.1.......Page 88
Theorem 6.2.......Page 89
Corollary 6.3.......Page 90
Part III: Representation Theorems......Page 91
Theorem 7.2.......Page 92
Unknown......Page 0
7.2.......Page 93
7.3. Computing......Page 95
7.4. Sectionally complemented lattices......Page 96
Lemma 7.8.......Page 97
Theorem 7.9 (Full Dilworth Theorem).......Page 98
Problem 7.1.......Page 99
S......Page 100
Theorem 7.10.......Page 101
Problem 7.9.......Page 102
Problem 7.11.......Page 103
Problem 7.12.......Page 104
Theorem 8.2.......Page 105
for minimal construction......Page 106
8.3. The formal construction......Page 107
for minimality......Page 109
.........Page 110
Lemma 8.4.......Page 111
The third .eld, not mentioned......Page 112
mcr......Page 113
Problem 8.4.......Page 114
A general lattice construction......Page 115
9.1. The representation theorem......Page 116
9.2.......Page 117
9.3. Construction and proof......Page 118
Step 1:......Page 119
Lemma 9.3.......Page 121
Step 4:......Page 123
SemiMod......Page 125
Theorem 10.2.......Page 126
10.2.......Page 127
Lemma 10.3.......Page 131
Theorem 10.5.......Page 136
Arguesian lattices......Page 137
Problem 10.7.......Page 138
11.2.......Page 139
Theorem 11.2.......Page 140
Lemma 11.3.......Page 142
Lemma 11.4.......Page 143
Claim 11.7.......Page 144
Claim 11.8.......Page 145
First case.......Page 146
11.4. Formal proof......Page 147
B......Page 148
construction......Page 149
Problem 11.4.......Page 150
Problem 11.10.......Page 151
Part IV: Extensions......Page 152
Theorem 12.1.......Page 153
12.2.......Page 154
Lemma 12.3.......Page 156
Case 2:......Page 157
12.4. Formal proof......Page 158
Lemma 12.4.......Page 159
Problem 12.4.......Page 160
K......Page 161
13.3. The conduit......Page 164
13.4. The construction......Page 165
Second gluing.......Page 166
13.6. Discussion......Page 167
Problem 13.4.......Page 168
14.2.......Page 169
b......Page 171
b......Page 173
c......Page 175
b......Page 176
b......Page 177
u......Page 178
u......Page 179
b c u......Page 180
Lemma 14.14.......Page 181
Theorem 14.17.......Page 182
Problem 14.3.......Page 183
Problem 14.6.......Page 184
Theorem 15.2 (Strong Independence Theorem).......Page 185
15.2.1 Frucht lattices......Page 186
15.2.2 An automorphism-preserving simple extension......Page 187
Theorem 15.6.......Page 188
15.2.4 Merging the two extensions......Page 189
m......Page 190
15.3.1 An automorphism-preserving simple extension......Page 191
15.3.3 Proof of the independence theorems......Page 193
Claim 2.......Page 194
Automorphism groups......Page 195
Problem 15.5.......Page 196
16.1.1 Bijective maps......Page 197
16.1.2 Surjective maps......Page 198
for bijective maps......Page 199
16.3. Veri.cation for bijective maps......Page 202
Lemma 16.3.......Page 206
Lemma 16.5.......Page 207
Lemma 16.7.......Page 208
Lemma 16.11.......Page 209
Corollary 16.12.......Page 210
Lemma 16.14.......Page 211
for surjective maps......Page 212
Final gluing.......Page 213
16.6. Veri.cation for surjective maps......Page 214
First generalization of Theorem 16.1......Page 215
Second generalization of Theorem 16.1......Page 216
C......Page 217
The Congruence Lattice Problem......Page 218
Problem 16.7.......Page 219
Part V: Two Lattices......Page 220
Theorem 17.1.......Page 221
C......Page 222
17.2.......Page 223
Lemma 17.4.......Page 225
Step 2.......Page 226
History......Page 227
Theorem 17.6.......Page 228
Lemma 17.9.......Page 229
Theorem 17.12.......Page 230
Problem 17.6.......Page 231
Problem 17.7.......Page 232
Theorem 18.1.......Page 233
for the main result......Page 234
18.3.1 Categoric preliminaries......Page 236
to......Page 238
Lemma 18.6.......Page 239
Lemma 18.7.......Page 240
Lemma 18.9.......Page 241
Theorem 18.10.......Page 242
Theorem 18.12.......Page 243
18.4. Proof for sectionally complemented lattices......Page 244
Lemma 18.15.......Page 245
Lemma 18.18.......Page 246
for planar lattices......Page 247
18.6. Discussion......Page 248
Theorem 18.19.......Page 249
Problem 18.3.......Page 250
19.1. The problem......Page 251
19.2. Three unary functions......Page 252
19.3. De.ning tensor extensions......Page 254
Lemma 19.2.......Page 255
Lemma 19.6.......Page 256
Lemma 19.9.......Page 257
19.4.2 An embedding......Page 258
Lemma 19.12.......Page 259
Lemma 19.15.......Page 260
Lemma 19.19.......Page 261
Theorem 19.21.......Page 262
Lemma 19.24.......Page 263
Lemma 19.25.......Page 265
Lemma 19.27.......Page 266
Case 2:......Page 267
Theorem 19.29.......Page 268
Problem 19.4.......Page 269
Problem 19.6.......Page 270
Bibliography......Page 271
Index......Page 280