The chemistry maths book, with Solution manual

Cover Page......Page 1
Title Page......Page 2
ISBN 9780199205356......Page 3
Preface......Page 4
Table of Contents......Page 6
1.1 Concepts......Page 12
1.2 Real Numbers......Page 14
1.3 Factorization, Factors, and Factorials......Page 18
1.3.1 Factorials......Page 19
1.4 Decimal Representation of Numbers......Page 20
1.4.1 The Archimedean Number pi......Page 22
1.4.3 Significant Figures and Rounding......Page 23
1.5 Variables......Page 24
1.6 The Algebra of Real Numbers......Page 25
1.6.1 The Index Rule......Page 27
1.6.2 Rules of Precedence for Arithmetic Operations......Page 28
1.8 Units......Page 30
1.8.1 Dimensional Analysis......Page 33
1.8.2 Large and Small Units......Page 34
1.8.3 Approximate Calculations......Page 37
1.8.4 Atomic Units......Page 38
1.9 Exercises......Page 40
2.1 Concepts......Page 42
2.2 Graphical Representation of Functions......Page 43
2.2.1 The Cartesian Coordinate System......Page 44
2.3 Factorization and Simplification of Expressions......Page 45
2.4 Inverse Functions......Page 48
2.5 Polynomials......Page 51
2.5.1 Degree n=1: Linear Function......Page 52
2.5.2 Degree n=2: Quadratic Function......Page 54
2.5.3 The General Polynomial......Page 58
2.6 Rational Functions......Page 61
2.6.1 Division of One Polynomial by Another......Page 62
2.7 Partial Fractions......Page 63
2.8 Solution of Simultaneous Equations......Page 66
2.9 Exercises......Page 69
3.1 Concepts......Page 73
3.2.1 Geometric Definitions......Page 74
3.2.2 Units of Angle......Page 76
3.2.3 Trigonometric Functions for All Angles......Page 77
3.2.4 Special Values......Page 79
3.2.6 Further Angles......Page 80
3.2.7 Periodic Functions......Page 81
3.3 Inverse Trigonometric Functions......Page 83
3.4.2 Proofs......Page 84
3.4.3 Compound-Angle Identities......Page 85
3.5 Polar Coordinates......Page 88
3.6 The Exponential Function......Page 91
3.7 The Logarithmic Function......Page 94
3.8 Values of Exponential and Logarithmic Functions......Page 97
3.9 Hyperbolic Functions......Page 98
3.9.1 The Inverse Hyperbolic Functions......Page 99
3.10 Exercises......Page 100
4.1 Concepts......Page 104
4.2 The Process of Differentiation......Page 105
4.3 Continuity......Page 108
4.4 Limits......Page 109
4.5 Differentiation from First Principles......Page 111
4.6 Differentiation by Rule......Page 113
4.6.2 The Product Rule......Page 115
4.6.4 The Chain Rule (Function of a Function)......Page 116
4.6.5 Inverse Functions......Page 119
4.7 Implicit Functions......Page 121
4.8 Logarithmic Differentiation......Page 122
4.9 Successive Differentiation......Page 124
4.10 Stationary Points......Page 125
4.11.1 Linear Motion......Page 129
4.12 The Differential......Page 130
4.13 Exercises......Page 133
5.1 Concepts......Page 137
5.2 The Indefinite Integral......Page 138
5.2.1 Differential and Integral Operators......Page 140
5.2.2 Value of the Integration Constant......Page 141
5.3 The Definite Integral......Page 143
5.3.2 Three Properties of the Definite Integral......Page 145
5.3.3 Negative Areas......Page 146
5.3.4 Integration of Discontinuous Functions......Page 147
5.3.5 Improper Integrals......Page 148
5.3.6 Infinite Integrals......Page 149
5.3.7 Even and Odd Functions......Page 151
5.4 The Integral Calculus......Page 153
5.4.1 The Use of Differentials......Page 156
5.4.2 The Integral as a Length......Page 157
5.5 Uses of the Integral Calculus......Page 158
5.6 Static Properties of Matter......Page 159
5.6.1 The Continuous Case......Page 161
5.7.2 Force and Work......Page 163
5.7.3 Work and Energy......Page 165
5.8 Pressure-Volume Work......Page 168
5.8.1 Expansion of a Gas......Page 170
5.9 Exercises......Page 171
6.2 The Use of Trigonometric Relations......Page 174
6.3 The Method of Substitution......Page 176
6.3.1 Trigonometric and Hyperbolic Substitutions......Page 181
6.3.2 Definite Integrals......Page 183
6.4 Integration by Parts......Page 184
6.5 Reduction Formulas......Page 187
6.6.1 Integrals of Type (i)......Page 190
6.6.2 Integrals of Type (ii)......Page 191
6.6.3 Rational Trigonometric Integrands......Page 194
6.7 Parametric Differentiation of Integrals......Page 195
6.8 Exercises......Page 198
7.2 Sequences......Page 202
7.2.1 Limits of Sequences......Page 204
7.3.1 The Arithmetic Series......Page 207
7.3.2 The Geometric Series......Page 208
7.3.3 The Binomial Expansion......Page 209
7.3.4 The Multinomial Expansion......Page 211
7.3.5 The Method of Differences......Page 212
7.3.6 Some Finite Series......Page 213
7.4.1 The Geometric Series......Page 214
7.5 Tests of Convergence......Page 215
7.5.1 The Comparison Test......Page 216
7.5.2 d\'Alembert\'s Ratio Test......Page 217
7.5.3 Cauchy\'s Integral Test......Page 218
7.6.1 Power Series......Page 219
7.6.2 The MacLaurin Series......Page 220
7.6.3 Examples of MacLaurin Series......Page 221
7.6.4 The Taylor Series......Page 224
7.7 Approximate Values and Limits......Page 225
7.7.1 Taylor\'s Theorem......Page 226
7.7.2 Limits......Page 228
7.8 Operations with Power Series......Page 230
7.9 Exercises......Page 232
8.1.1 Powers of i......Page 236
8.2.3 Multiplication......Page 237
8.2.4 The Complex Conjugate......Page 238
8.3 Graphical Representation......Page 239
8.3.1 The Polar Representation......Page 240
8.3.2 Representation of Arithmetic Operations......Page 241
8.3.3 de Moivre\'s Formula......Page 244
8.4 Complex Functions......Page 246
8.5 Euler\'s Formula......Page 247
8.5.2 Rotation Operators......Page 250
8.6.1 Periodicity on a Circle. The n nth Roots of 1......Page 251
8.6.3 Rotation in Quantum Mechanics......Page 253
8.7 Evaluation of Integrals......Page 255
8.8 Exercises......Page 256
9.1 Concepts......Page 258
9.2 Graphical Representation......Page 259
9.3 Partial Differentiation......Page 260
9.3.1 Higher Derivatives......Page 262
9.3.2 Alternative Notations......Page 263
9.4 Stationary Points......Page 264
9.4.1 Optimization with Constraints......Page 266
9.5 The Total Differential......Page 269
9.6.1 The Total Derivative......Page 273
9.6.2 Walking on a Contour......Page 275
9.6.3 Change of Constant Variable......Page 278
9.6.4 Change of Independent Variables......Page 279
9.6.5 Laplace\'s Equation in Two Dimensions......Page 280
9.7 Exact Differentials......Page 283
9.8 Line Integrals......Page 286
9.9 Multiple Integrals......Page 292
9.10 The Double Integral......Page 294
9.11 Change of Variables......Page 296
9.11.2 The Integral......Page 299
9.12 Exercises......Page 300
10.2 Spherical Polar Coordinates......Page 305
10.3 Functions of Position......Page 307
10.3.1 Density Functions......Page 308
10.4 Volume Integrals......Page 310
10.4.1 Spherical Polar Coordinates......Page 311
10.4.2 Integrals over All Space......Page 313
10.4.3 Average Values......Page 314
10.5 The Laplacian Operator......Page 315
10.6 Other Coordinate Systems......Page 318
10.6.1 Cylindrical Polar Coordinates......Page 320
10.6.2 Confocal Elliptic Coordinates......Page 321
10.7 Exercises......Page 323
11.1 Concepts......Page 325
11.2 Solution of a Differential Equation......Page 326
11.3 Separable Equations......Page 329
11.3.1 Reduction to Separable Form......Page 331
11.4 Separable Equations in Chemical Kinetics......Page 333
11.4.1 Rate of Reaction......Page 334
11.5.2 The Inhomogeneous Equation......Page 339
11.6 An Example of Linear Equations in Chemical Kinetics......Page 341
11.7 Electric Circuits......Page 343
11.8 Exercises......Page 345
12.2 Homogeneous Linear Equations......Page 348
12.3 The General Solution......Page 351
12.4 Particular Solutions......Page 355
12.4.1 The Equation y\" + omega^2 y=0......Page 357
12.5 The Harmonic Oscillator......Page 359
12.5.1 Energetics......Page 362
12.6 The Particle in a One-Dimensional Box......Page 363
12.6.1 Orthogonality......Page 365
12.7 The Particle in a Ring......Page 367
12.8 Inhomogeneous Linear Equations......Page 370
12.8.1 The Method of Undetermined Coefficients......Page 372
12.9 Forced Oscillations......Page 374
12.10 Exercises......Page 376
13.1 Concepts......Page 379
13.2 The Power-Series Method......Page 380
13.3 The Frobenius Method......Page 382
13.4 The Legendre Equation......Page 386
13.4.2 The Legendre Polynomials......Page 387
13.4.3 The Associated Legendre Functions......Page 389
13.4.4 Orthogonality and Normalization......Page 390
13.5 The Hermite Equation......Page 392
13.5.1 Hermite Functions......Page 393
13.6.1 Associated Laguerre Functions......Page 395
13.7 Bessel Functions......Page 396
13.7.1 Bessel Functions J_n (x) for Integer n......Page 397
13.7.2 Bessel Functions J_l+1/2 (x) of Half-Integer Order......Page 398
13.8 Exercises......Page 400
14.1 Concepts......Page 402
14.2 General Solutions......Page 403
14.3 Separation of Variables......Page 404
14.4 The Particle in a Rectangular Box......Page 406
14.4.1 A Square Box. Degeneracy......Page 408
14.5 The Particle in a Circular Box......Page 409
14.5.1 The Angular Equation......Page 410
14.5.2 The Radial Equation......Page 411
14.6 The Hydrogen Atom......Page 412
14.6.1 Separation of Variables......Page 413
14.6.2 The Phi Equation......Page 414
14.6.4 Spherical Harmonics......Page 415
14.6.5 Angular Momentum......Page 416
14.6.6 The Radial Equation......Page 417
14.6.8 The Total Wave Function......Page 419
14.7.1 Separation of Variables......Page 421
14.7.2 Normal Modes of Motion......Page 422
14.7.3 The Complete Solution......Page 423
14.8 Exercises......Page 424
15.2 Orthogonal Expansions......Page 427
15.2.1 The General Case......Page 430
15.2.2 Completeness of Orthogonal Sets......Page 431
15.3 Two Expansions in Legendre Polynomials......Page 432
15.3.1 The Expansion of Electrostatic Potential......Page 433
15.4 Fourier Series......Page 436
15.4.1 Periodicity......Page 438
15.4.2 Change of Period......Page 441
15.5 The Vibrating String......Page 443
15.6 Fourier Transforms......Page 444
15.6.1 The Infinite Interval......Page 445
15.6.2 The Exponential Form......Page 447
15.6.3 Fourier Transform Pairs......Page 449
15.7 Exercises......Page 452
16.1 Concepts......Page 455
16.2.2 Vector Addition......Page 456
16.2.4 Scalar Multiplication......Page 457
16.3 Components of Vectors......Page 459
16.3.1 Base Vectors......Page 463
16.4 Scalar Differentiation of a Vector......Page 464
16.4.1 Parametric Representation of a Curve......Page 465
16.5 The Scalar (Dot) Product......Page 467
16.5.1 Proof......Page 468
16.5.2 The Use of Cartesian Base Vectors......Page 469
16.6 The Vector (Cross) Product......Page 473
16.6.1 In Terms of Cartesian Base Vectors......Page 474
16.7 Scalar and Vector Fields......Page 477
16.8 The Gradient of a Scalar Field......Page 478
16.9.1 The Divergence......Page 480
16.9.2 The Curl......Page 481
16.11 Exercises......Page 482
17.1 Concepts......Page 485
17.2 Determinants of Order 3......Page 487
17.2.1 Minors and Cofactors......Page 489
17.3 The General Case......Page 492
17.4 The Solution of Linear Equations......Page 494
17.4.1 The Case D = 0......Page 495
17.4.2 Homogeneous Equations......Page 496
17.4.3 Secular Equations......Page 497
17.5 Properties of Determinants......Page 499
17.6 Reduction to Triangular Form......Page 504
17.7 Alternating Functions......Page 505
17.8 Exercises......Page 507
18.1 Concepts......Page 510
18.2.1 Square Matrices......Page 513
18.2.2 Vectors......Page 514
18.2.4 The Determinant......Page 515
18.3.3 Multiplication of a Matrix by a Scalar......Page 516
18.3.4 Matrix Multiplication......Page 518
18.3.5 Properties of Matrix Multiplication......Page 520
18.4 The Inverse Matrix......Page 524
18.5 Linear Transformations......Page 527
18.5.1 Simultaneous Transformations......Page 529
18.5.2 Consecutive Transformations......Page 530
18.5.3 Inverse Transformations......Page 531
18.6 Orthogonal Matrices and Orthogonal Transformations......Page 532
18.7 Symmetry Operations......Page 535
18.7.1 Symmetry Groups......Page 536
18.7.3 Matrix Representations of Groups......Page 538
18.8 Exercises......Page 540
19.1 Concepts......Page 543
19.2 The Eigenvalue Problem......Page 545
19.3 Properties of the Eigenvectors......Page 548
19.4 Matrix Diagonalization......Page 554
19.4.1 Similarity Transformations......Page 556
19.5 Quadratic Forms......Page 557
19.5.1 The Canonical Form......Page 559
19.6.1 The Complex Conjugate Matrix A......Page 562
19.6.2 The Hermitian Conjugate Matrix A......Page 563
19.6.3 Hermitian Matrices......Page 564
19.6.4 Unitary Matrices......Page 565
19.7 Exercises......Page 566
20.2 Errors......Page 569
20.2.1 Differencing Errors......Page 571
20.3.1 The Bisection Method......Page 573
20.3.2 The Newton-Raphson Method......Page 575
20.4.1 Polynomial Interpolation......Page 577
20.4.2 Linear Interpolation......Page 578
20.4.3 Quadratic Interpolation......Page 579
20.4.4 Newton\'s Method of Divided Differences......Page 580
20.4.5 Spline Interpolation......Page 582
20.5.1 The Trapezoidal Rule. Linear Interpolation......Page 584
20.5.2 Simpson\'s Rule. Quadratic Interpolation......Page 586
20.5.3 The Euler-MacLaurin Formula......Page 587
20.5.4 Gaussian Quadratures......Page 590
20.7 Gauss Elimination for the Solution of Linear Equations......Page 592
20.7.1 Pivoting......Page 594
20.8 Gauss-Jordan Elimination for the Inverse of a Matrix......Page 595
20.9 First-Order Differential Equations......Page 596
20.9.1 Graphical Representation......Page 597
20.9.2 Euler\'s Method......Page 598
20.9.3 Runge-Kutta Methods......Page 600
20.10 Systems of Differential Equations......Page 601
20.10.1 Stiff Equations......Page 602
20.11 Exercises......Page 603
21.2 Descriptive Statistics......Page 606
21.2.1 Mean, Mode, and Median......Page 609
21.2.2 Variance and Standard Deviation......Page 610
21.3 Frequency and Probability......Page 612
21.3.1 Probability Distributions......Page 613
21.4.1 Exclusive Events......Page 614
21.5 The Binomial Distribution......Page 615
21.6.1 Permutations......Page 618
21.6.2 Combinations......Page 619
21.6.3 Distinguishable and Indistinguishable Objects......Page 620
21.6.4 Large Numbers......Page 621
21.7 Continuous Distributions......Page 624
21.8 The Gaussian Distribution......Page 626
21.8.2 The Distribution Function......Page 627
21.9.1 Covariance and Correlation......Page 629
21.10 Least Squares......Page 630
21.10.2 The Straight-Line Fit......Page 631
21.10.3 Chi-Square Fitting......Page 633
21.11 Sample Statistics......Page 634
21.12 Exercises......Page 635
A.1 Indefinite Integrals......Page 638
A.2 Definite Integrals......Page 640
A.3 Reduction Formulas......Page 641
Solutions to Exercises......Page 642
A......Page 664
B......Page 666
C......Page 668
D......Page 673
E......Page 678
F......Page 682
G......Page 686
H......Page 687
I......Page 689
K......Page 692
L......Page 693
M......Page 695
N......Page 699
O......Page 700
P......Page 702
R......Page 706
S......Page 709
T......Page 713
V......Page 715
W......Page 717
Z......Page 718
1. Numbers, variables, and units......Page 719
Section 1.2......Page 720
Section 1.3......Page 721
Section 1.4......Page 722
Section 1.6......Page 724
Section 1.8 Units......Page 726
2. Algebraic functions......Page 733
Section 2.1......Page 734
Section 2.2......Page 735
Section 2.3......Page 736
Section 2.4......Page 738
Section 2.5......Page 742
Section 2.6......Page 750
Section 2.7......Page 751
Section 2.8......Page 753
3. Transcendental functions......Page 757
Section 3.2......Page 758
Section 3.3......Page 763
Section 3.4......Page 764
Section 3.5......Page 770
Section 3.6......Page 772
Section 3.7......Page 774
Section 3.8......Page 776
4. Differentiation......Page 777
Section 4.2......Page 778
Section 4.4......Page 779
Section 4.5......Page 781
Section 4.6......Page 782
Section 4.7......Page 790
Section 4.8......Page 791
Section 4.9......Page 793
Section 4.10......Page 794
Section 4.11......Page 799
Section 4.12......Page 800
5. Integration......Page 801
Section 5.2......Page 802
Section 5.3.......Page 804
Section 5.4......Page 811
Section 5.6......Page 812
Section 5.7......Page 813
Section 5.8......Page 816
6. Methods of Integration......Page 817
Section 6.2......Page 818
Section 6.3......Page 820
Section 6.4......Page 827
Section 6.5......Page 830
Section 6.6......Page 835
Section 6.7.......Page 838
7. Sequences and series......Page 839
Section 7.2......Page 840
Section 7.3......Page 842
Section 7.4......Page 848
Section 7.5......Page 849
Section 7.6......Page 850
Section 7.7......Page 855
Section 7.8......Page 858
8. Complex numbers......Page 859
Section 8.2......Page 860
Section 8.3......Page 862
Section 8.4......Page 865
Section 8.5......Page 866
Section 8.6......Page 869
Section 8.7......Page 871
9. Functions of several variables......Page 872
Section 9.3......Page 873
Section 9.4......Page 878
Section 9.5......Page 884
Section 9.6......Page 885
Section 9.7......Page 893
Section 9.8......Page 894
Section 9.9......Page 898
Section 9.10......Page 899
Section 9.11......Page 900
10. Functions in 3 dimensions......Page 902
Section 10.2......Page 903
Section 10.3......Page 904
Section 10.4......Page 905
Section 10.5......Page 908
Section 10.6......Page 914
11. First-order differential equations......Page 916
Section 11.2......Page 917
Section 11.3......Page 920
Section 11.4......Page 926
Section 11.5......Page 928
Section 11.6......Page 931
Section 11.7......Page 934
12. Second-order differential equations. Constant coefficients......Page 936
Section 12.2......Page 937
Section 12.3......Page 938
Section 12.4......Page 940
Section 12.5......Page 944
Section 12.6......Page 945
Section 12.7......Page 948
Section 12.8......Page 949
13. Second-order differential equations. Some special functions......Page 955
Section 13.2......Page 956
Section 13.3......Page 960
Section 13.4......Page 966
Section 13.5......Page 968
Section 13.6......Page 970
Section 13.7......Page 971
14. Partial differential equations......Page 973
Section 14.2......Page 974
Section 14.3......Page 976
Section 14.4......Page 978
Section 14.5......Page 981
Section 14.6......Page 982
Section 14.7......Page 987
15. Orthogonal expansions. Fourier analysis......Page 991
Section 15.2......Page 992
Section 15.3......Page 993
Section 15.4......Page 995
Section 15.5......Page 1002
Section 15.6......Page 1003
16. Vectors......Page 1005
Section 16.3......Page 1006
Section 16.4......Page 1008
Section 16.5......Page 1011
Section 16.6......Page 1013
Section 16.8......Page 1019
Section 16.9......Page 1020
17. Determinants......Page 1022
Section 17.2......Page 1023
Section 17.3......Page 1025
Section 17.4......Page 1026
Section 17.5......Page 1030
Section 17.6......Page 1031
Section 17.7......Page 1032
18. Matrices and linear transformations......Page 1033
Section 18.2......Page 1034
Section 18.3......Page 1035
Section 18.4......Page 1042
Section 18.5......Page 1046
Section 18.6......Page 1050
Section 18.7......Page 1052
19. The matrix eigenvalue problem......Page 1054
Section 19.1......Page 1055
Section 19.2......Page 1056
Section 19.3......Page 1060
Section 19.4......Page 1066
Section 19.5......Page 1069
Section 19.6......Page 1074
20. Numerical methods......Page 1077
Section 20.2......Page 1078
Section 20.3......Page 1082
Section 20.4......Page 1086
Section 20.5......Page 1089
Section 20.7......Page 1093
Section 20.8......Page 1095
Section 20.9......Page 1097
21. Probability and statistics......Page 1104
Section 21.2......Page 1105
Section 21.4......Page 1107
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