The Callias Index Formula Revisited

هدف این یادداشت‌های سخنرانی ارائه یک اثبات کاملاً تحلیلی و قابل دسترس از فرمول شاخص Callias است. در شاخه های مختلف ریاضیات (به ویژه، عملگرهای دیفرانسیل جزئی خطی و غیرخطی، عملگرهای انتگرال منفرد و غیره) و فیزیک نظری (مانند مکانیک کوانتومی غیرنسبیتی و نسبیتی، فیزیک ماده متراکم و نظریه میدان کوانتومی)، علاقه زیادی به محاسبات وجود دارد. شاخص های فردهولم برخی از عملگرهای دیفرانسیل جزئی خطی در اواخر دهه 1970، کنستانتین کالیاس فرمولی را برای شاخص فردهولم یک عملگر دیفرانسیل مرتبه اول خاص (به طور نزدیک به یک عملگر فوق متقارن نوع دیراک متصل است) پیدا کرد که به طور افزایشی توسط یک پتانسیل آشفته شده بود و بر قضیه شاخص فدوسوف-هورماندر نور بیشتری می تابید. به عنوان محصول جانبی اثبات خود، ما همچنین نگاهی اجمالی به موقعیت‌های خاص غیرفردهلم با استفاده از شاخص کلی ویتن ارائه می‌کنیم.

These lecture notes aim at providing a purely analytical and accessible proof of the Callias index formula. In various branches of mathematics (particularly, linear and nonlinear partial differential operators, singular integral operators, etc.) and theoretical physics (e.g., nonrelativistic and relativistic quantum mechanics, condensed matter physics, and quantum field theory), there is much interest in computing Fredholm indices of certain linear partial differential operators. In the late 1970’s, Constantine Callias found a formula for the Fredholm index of a particular first-order differential operator (intimately connected to a supersymmetric Dirac-type operator) additively perturbed by a potential, shedding additional light on the Fedosov-Hörmander Index Theorem. As a byproduct of our proof we also offer a glimpse at special non-Fredholm situations employing a generalized Witten index.