The c and a-Theorems and the Local Renormalisation Group

قضیه c Zamolodchikov به بینش های جدید مهمی در درک گروه عادی سازی مجدد (RG) و هندسه فضای QFT ها منجر شده است. آغازگر حاضر، پیشرفت‌های موازی جستجو برای تعمیم ابعاد بالاتر قضیه c و RG محلی (LRG) را معرفی و مرور می‌کند.

ایده عادی‌سازی مجدد با کوپلینگ‌های وابسته به موقعیت، در حال اجرا تحت مقیاس‌بندی محلی Weyl، از تحقق اولیه آن تا فرمالیسم مدرن ظریف LRG ردیابی می‌شود. نقش کلیدی شرایط سازگاری Weyl در ایجاد معادلات جریان RG برای ضرایب ناهنجاری ردیابی در فضازمان منحنی، و رابطه آنها با قضیه c و قضیه a چهار بعدی به تفصیل توضیح داده شده است.

تعدادی از مشتقات مختلف قضیه c در دو بعد ارائه شده و متعاقباً به چهار بعد تعمیم داده شده است. موانع ایجاد توابع C یکنواخت مربوط به ضرایب ناهنجاری ردیابی در چهار بعد توضیح داده شده است. امکان استخراج یک قضیه a برای ضریب چگالی اویلر-گاوس-بونت، در ابتدا با فرمول بندی QFT در فضاهای حداکثر متقارن بررسی می شود. سپس فرمول قضیه a ضعیف با استفاده از یک رابطه پراکندگی برای توابع چهار نقطه ای ارائه شده است.

در نهایت، کاربرد LRG در موضوع چرخه های حدی در نظریه ها ارائه می شود. با یک تقارن جهانی شرح داده شده است، و نور جدیدی بر هندسه فضای کوپلینگ ها در QFT می اندازد.

The Zamolodchikov c-theorem has led to important new insights in the understanding of the Renormalisation Group (RG) and the geometry of the space of QFTs. The present primer introduces and reviews the parallel developments of the search for a higher-dimensional generalisation of the c-theorem and of the Local RG (LRG).

The idea of renormalisation with position-dependent couplings, running under local Weyl scaling, is traced from its early realisations to the elegant modern formalism of the LRG. The key rôle of the associated Weyl consistency conditions in establishing RG flow equations for the coefficients of the trace anomaly in curved spacetime, and their relation to the c-theorem and four-dimensional a-theorem, is explained in detail.

A number of different derivations of the c-theorem in two dimensions are presented and subsequently generalised to four dimensions. The obstructions to establishing monotonic C-functions related to the trace anomaly coefficients in four dimensions are explained. The possibility of deriving an a-theorem for the coefficient of the Euler-Gauss-Bonnet density is explored, initially by formulating the QFT on maximally symmetric spaces. Then the formulation of the weak a-theorem using a dispersion relation for four-point functions is presented.

Finally, the application of the LRG to the issue of limit cycles in theories with a global symmetry is described, shedding new light on the geometry of the space of couplings in QFT.