Teoría y problemas de geometría diferencial

Índice de materias......Page 6
Vectores......Page 8
Multiplicación de un vector por un escalar......Page 9
Bases y componentes......Page 11
Producto escalar de vectores......Page 12
Bases ortonormales......Page 14
Bases orientadas......Page 15
Producto vectorial......Page 16
Productos triples e identidades vectoriales......Page 17
Problemas resueltos......Page 18
Problemas propuestos......Page 27
Rectas y planos......Page 29
Entornos o vecindades.......Page 30
Funciones vectoriales......Page 31
Límites......Page 32
Propiedades de los límites.......Page 33
Derivación......Page 35
Funciones de clase C^m......Page 37
Fórmula de Taylor.......Page 38
Funciones analíticas.......Page 39
PROBLEMAS RESUELTOS......Page 40
PROBLEMAS PROPUESTOS......Page 49
Representaciones regulares......Page 52
Curvas regulares......Page 53
Proyecciones ortogonales......Page 56
Representaciones implícitas de curvas......Page 57
Definición de longitud de arco......Page 58
La longitud de arco como parámetro......Page 60
PROBLEMAS RESUELTOS......Page 62
PROBLEMAS PROPUESTOS......Page 69
Vector tangente unitario......Page 71
Recta tangente y plano normal......Page 72
Curvatura......Page 73
Vector unitario normal principal......Page 74
Normal principal y plano osculador......Page 76
Binormal. Triedro móvil......Page 78
Torsión......Page 79
Indicatrices esféricas......Page 81
Problemas resueltos......Page 82
Problemas propuestos......Page 90
Ecuaciones intrínsecas......Page 92
El teorema fundamental de existencia y unicidad......Page 93
Representación canónica de una curva......Page 95
Involutas......Page 96
Evolutas......Page 98
Teoría del contacto......Page 99
Curvas y superficies osculatrices......Page 102
Problemas resueltos......Page 104
Problemas propuestos......Page 113
Conjuntos abiertos......Page 116
Conjuntos cerrados. Punto de acumulación o puntos límites......Page 117
Conjuntos conexos......Page 119
Conjuntos compactos......Page 121
Aplicaciones continuas......Page 122
Homeomorfismos......Page 125
Problemas resueltos......Page 127
Problemas propuestos......Page 135
Funciones vectoriales......Page 137
Funciones lineales......Page 138
Continuidad y límites......Page 140
Derivadas direccionales......Page 141
Funciones derivables......Page 143
Funciones Compuestas. Regla de la cadena......Page 146
Funciones de clase Cm. Fórmula de Taylor......Page 149
Teorema de la función inversa......Page 151
Problemas Resueltos......Page 153
Problemas Propuestos......Page 164
Representaciones paramétricas regulares......Page 166
Cartas locales......Page 169
Definición de superficie simple......Page 171
Plano tangente y recta normal......Page 174
Propiedades topológicas de las superficies simples......Page 176
Problemas Resueltos......Page 177
Problemas Propuestos......Page 186
Primera forma fundamental......Page 189
Longitud de un arco y área de una superficie......Page 191
Segunda forma fundamental......Page 193
Curvatura normal......Page 197
Curvaturas y direcciones principales......Page 200
Curvatura gaussiana y curvatura media......Page 202
Líneas de curvatura......Page 203
Líneas asintóticas. Familias conjugadas de curvas......Page 206
Problemas resueltos......Page 208
Problemas propuestos......Page 219
Ecuaciones de Gauss-Weingarten......Page 221
Teorema fundamental de las superficies......Page 223
Algunos teoremas relativos a superficies en grande......Page 225
Notación......Page 226
Variedades elementales......Page 228
Tensores......Page 229
Algebra tensorial......Page 233
Aplicación de los tensores a las ecuaciones de la teoría de superficies......Page 234
Problemas resueltos......Page 236
Problemas propuestos......Page 246
Aplicaciones sobre superficies......Page 249
Aplicaciones isométricas. Geometría intrínseca......Page 251
Curvatura geodésica......Page 254
Geodésicas......Page 256
Coordenadas geodésicas......Page 258
Coordenadas geodésicas polares......Page 260
Arcos de longitud mínima......Page 261
Superficies de curvatura gausiana constante......Page 263
Teorema de Gauss-Bonnet......Page 265
Problemas resueltos......Page 270
Problemas propuestos......Page 284
Apéndice I: Teorema de existencia de curvas.......Page 287
Apéndice II: Teorema de existencia de superficies.......Page 288
A-C......Page 290
D-I......Page 291
J-S......Page 292
T-V......Page 293