Tensoranalysis (De Gruyter Lehrbuch)

Tensoranalysis (2006 - 2. Auflage)......Page 1
de Gruyter Lehrbuch......Page 2
ISBN-13: 9783110189438......Page 5
Vorwort......Page 6
Vorwort der ersten Auflage......Page 7
--> Inhalt......Page 10
1.1 Die Summationskonvention......Page 18
1.2.1 Definitionen......Page 22
1.2.3 Lineare Unabhängigkeit......Page 23
1.3 Determinanten......Page 24
1.3.1 Definitionen......Page 25
1.3.2 Berechnung von Determinanten......Page 26
1.3.3 Rechnen mit Determinanten......Page 28
1.4.1 δij\r......Page 29
1.4.2 δ......Page 31
1.4.3 εi.........Page 32
1.4.4 Darstellung einer Determinante mit εi.........Page 35
1.4.5 εi......Page 40
1.5.1 Definitionen......Page 41
1.5.2 Rechenoperationen und einfache Folgerungen......Page 43
1.5.4 Elementare Umformungen, Normalform, äquivalente Matrizen, ähnliche Matrizen\r......Page 48
1.5.5 Orthogonale Matrizen......Page 50
1.6.1 Berechnung einer Determinante......Page 51
1.6.2 Lösung eindeutiger linearer Gleichungssysteme mit der gleichen Koeffizientenmatrix („Division durch eine reguläre Matrix“, gaußscher Algorithmus)\r......Page 52
1.6.3 Bestimmung des Ranges einer Matrix oder Determinante......Page 53
2.1.1 Ortsvektoren und Punktkoordinaten......Page 54
2.1.2 Die Transformation kartesischer Koordinatensysteme......Page 55
2.1.3 Eigenschaften der Transformationskoeffizienten......Page 56
2.1.5 Das Transformationsgesetz für Punktkoordinaten......Page 58
2.2.1 Vektoren, Vektorkomponenten und Vektorkoordinaten......Page 59
2.2.2 Das Transformationsgesetz für Vektorkoordinaten......Page 60
2.3.1 Tensoren zweiter Stufe......Page 64
2.3.2 Tensoren beliebiger Stufe......Page 68
2.3.3 Symmetrien in der Physik......Page 70
2.4 Symbolische Schreibweise, Koordinaten- und Matrizenschreibweise\r......Page 71
2.5 Gleichheit, Addition und Subtraktion von Tensoren. Multiplikation von Tensoren mit einem Skalar. Lineare Unabhängigkeit\r......Page 72
2.6 Transponierte, isomere, symmetrische und antimetrische Tensoren\r......Page 74
2.7.1 Definition......Page 76
2.7.2 Eigenschaften......Page 77
2.7.3 Tensoren, Tensorkomponenten und Tensorkoordinaten......Page 81
2.7.4 Tensorgleichungen, Transformationsgleichungen und Darstellungsgleichungen\r......Page 82
2.8.2 Der ε-Tensor......Page 83
2.9.1 Definition......Page 85
2.9.2 Eigenschaften......Page 86
2.9.3 Überschiebung, Verjüngung, Spur......Page 92
2.9.4 Mehrfache skalare Produkte......Page 93
2.10.1 Definition......Page 95
2.10.2 Eigenschaften......Page 99
2.10.3 Das Spatprodukt......Page 100
2.11 Übersicht über die tensoralgebraischen Operationen......Page 101
2.12 Differentialoperationen......Page 102
2.12.2 Der Gradient......Page 103
2.12.3 Das (vollständige) Differential......Page 106
2.12.4 Die Divergenz......Page 108
2.12.5 Die Rotation......Page 110
2.12.6 Der Laplace-Operator......Page 112
2.14 Integrale von Tensorfeldern......Page 113
2.14.1 Kurvenintegrale von Tensorkoordinaten......Page 114
2.14.2 Normalenvektor und Flächenvektor eines Flächenelements\r......Page 116
2.14.3 Flächenintegrale von Tensorkoordinaten......Page 119
2.14.4 Volumenintegrale von Tensorkoordinaten......Page 123
2.14.5 Integrale von Tensorfeldern höherer Stufe......Page 124
2.15.1 Der gaußsche Satz......Page 126
2.15.2 Der stokessche Satz......Page 130
3.1 Die additive Zerlegung eines Tensors......Page 136
3.2 Die Determinante eines Tensors......Page 138
3.3 Der Vektor eines antimetrischen Tensors......Page 139
3.4 Der Kotensor eines Tensors......Page 140
3.6 Der inverse Tensor......Page 141
3.7 Orthogonale Tensoren......Page 143
3.8 Der Tensor als lineare Vektorfunktion......Page 144
3.8.1 Rang 3......Page 145
3.8.2 Rang 2......Page 146
3.8.3 Rang 1......Page 148
3.9.1 Definition......Page 149
3.9.2 Orthogonalitätsrelationen......Page 150
3.9.3 Orthogonale und orthonormierte Basen......Page 151
3.9.4 Reziproke Basen in der Ebene......Page 152
3.10.1 Rang 3......Page 153
3.10.2 Rang 2......Page 156
3.10.3 Rang 1......Page 157
3.11.1 Eigenwerte und Eigenrichtungen......Page 159
3.11.2 Charakteristische Gleichung und Hauptinvarianten......Page 160
3.11.3 Klassifikation von Tensoren nach der Art ihrer Eigenwerte, Sätze über Eigenwerte\r......Page 162
3.11.4 Sätze über Eigenvektoren......Page 165
3.11.5 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen......Page 171
3.12.1 Die Hauptachsentransformation......Page 175
3.12.2 Eigenwerte und Rang des Tensors......Page 179
3.12.3 Eigenwerte und Definitheit des Tensors......Page 180
3.12.4 Symmetrische quadratische Matrizen......Page 181
3.13.2 Transformation auf eine Eigenrichtung......Page 185
3.13.3 Der orthogonale Tensor als Funktion von Drehachse bzw. Spiegelungsachse und Drehwinkel\r......Page 189
3.13.4 Drehung und Koordinatentransformation......Page 194
3.14.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten......Page 195
3.14.2 Potenzen mit reellen Exponenten......Page 197
3.14.3 Die Cayley-Hamilton-Gleichung......Page 199
3.15 Grundinvarianten......Page 200
3.16 Die polare Zerlegung eines Tensors......Page 202
4.1.1 Krummlinige Koordinatensysteme......Page 208
4.1.2 Koordinatenflächen und Koordinatenlinien......Page 210
4.1.3 Holonome Basen......Page 211
4.1.4 Geradlinige und kartesische Koordinatensysteme......Page 214
4.2.1 Allgemeines......Page 216
4.2.2 Transformationen zwischen zwei krummlinigen Koordinatensystemen\r......Page 219
4.2.3 Die Summationskonvention......Page 222
4.2.4 Der δ-Tensor......Page 223
4.2.5 Herauf- und Herunterziehen von Indizes......Page 227
4.2.6 Der ε-Tensor......Page 228
4.2.8 Tensoralgebra in holonomen Koordinaten......Page 232
4.3 Physikalische Basen und Tensorkoordinaten......Page 238
4.4 Differentialoperationen......Page 240
4.4.1 Partielle Ableitung und Differential des Ortsvektors......Page 241
4.4.2 Partielle Ableitung und vollständiges Differential der holonomen\r Basen, Christoffel-Symbole......Page 242
4.4.3 Christoffel-Symbole und Metrikkoeffizienten......Page 243
4.4.4 Die partielle Ableitung von Tensoren. Die partielle und die ko-variante Ableitung von Tensorkoordinaten\r......Page 244
4.4.5 Das vollständige Differential von Tensoren. Das vollständige und das absolute Differential von Tensorkoordinaten\r......Page 246
4.4.7 Der Gradient......Page 248
4.4.8 Divergenz und Rotation......Page 250
4.4.9 Physikalische Koordinaten von Differentialoperationen......Page 251
4.4.10 Die zweite kovariante Ableitung einer Tensorkoordinate. Der Laplace-Operator\r......Page 254
4.4.11 Integrale von Tensorfeldern......Page 256
5.1 Der Grundgedanke der Darstellungstheorie......Page 262
5.2 Die verallgemeinerte Cayley-Hamilton-Gleichung......Page 264
5.3 Invarianten von Vektoren und Tensoren zweiter Stufe......Page 266
5.3.1 Invarianten von Vektoren......Page 267
5.3.2 Invarianten eines Tensors zweiter Stufe......Page 268
5.3.3 Simultaninvarianten von Tensoren zweiter Stufe und Vektoren......Page 274
5.3.4 Zusammenfassung......Page 278
5.4.1 Invarianzbedingungen......Page 279
5.4.3 Vektorwertige Funktionen......Page 281
5.4.4 Tensorwertige Funktionen......Page 284
5.4.5 Zusammenfassung......Page 287
5.5 Berücksichtigung von Anisotropien......Page 288
6.1.1 Die Halbgruppe......Page 294
6.1.2 Die Gruppe......Page 296
6.1.3 Der Ring......Page 299
6.1.4 Der Körper......Page 301
6.2.1 Vektorraum, Nullvektor, Subtraktion......Page 303
6.2.3 Basis und Dimension......Page 307
6.2.4 Koordinaten......Page 311
6.2.5 Transformationsgleichungen......Page 312
6.3.1 Allgemeine Abbildungen......Page 313
6.3.2 Lineare Abbildungen......Page 314
6.3.3 Tabellarische Zusammenfassung......Page 321
6.4.1 Der Dualraum......Page 322
6.4.2 Die natürliche skalare Multiplikation......Page 323
6.4.3 Duale Basen......Page 325
6.4.4 Transformationsgleichungen......Page 326
6.5.1 Die tensorielle Multiplikation......Page 328
6.5.2 Affine Tensorräume und Tensoren......Page 329
6.5.3 Transformationsgleichungen......Page 330
6.6.1 Die skalare Multiplikation......Page 332
6.6.2 Die Metrik......Page 334
6.6.3 Dualität......Page 337
6.7.1 Der affine (Punkt-)Raum......Page 340
6.7.2 Der euklidische (Punkt-)Raum......Page 342
Literatur......Page 344
Anhang A: Lösungen der Aufgaben......Page 346
Anhang B: Zylinder- und Kugelkoordinaten\r......Page 408
Sachwortregister......Page 424