Tensor Geometry: The Geometric Viewpoint and its Uses

ما از واکنش‌های دانش‌آموزان و معلمان با استفاده از کتاب خود در ده سال گذشته بسیار تشویق شده‌ایم، بنابراین این یک تایپ مجدد کامل در TEX است، با تصحیح خطاهای شناخته شده و افزودن کتاب‌شناسی تکمیلی. از کارکنان اسپرینگر در هایدلبرگ برای حمایت مشتاقانه آنها و از تایپیست، آرمین کولنر برای عالی بودن نتیجه نهایی تشکر می کنیم. بار دیگر، با نویسندگان در دو کشور دیگر به دست آمده است. نوامبر 1990 کیت دودسون تورنتو، کانادا تیم پستون پوهانگ، کره مقدمه محتویات. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI O. نه (at)های بنیادی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. مجموعه ها. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. توابع. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. پیشینه فیزیکی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I. فضاهای برداری واقعی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1. فضاها. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 هندسه زیرفضا، اجزاء 2. نقشه ها. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 خطی، تکینگی، ماتریس 3. عملگرها. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 پیش بینی ها، مقادیر ویژه، تعیین کننده، ردیابی II. Affine Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1. فضاها. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 بردار مماس، موازی، مختصات 2. ترکیبی از نقاط. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 نقطه میانی، تحدب 3. نقشه ها. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 قطعات خطی، ترجمه ها، اجزای III. فضاهای دوگانه. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1. Contours، Co- و Contravariance، Dual Base. . . . . . . . . . . . . . 57 IV. فضاهای وکتور متریک . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1. معیارها. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 هندسه پایه و مثال ها، هندسه لورنتس 2. نقشه ها. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 ایزومتریک ها، برآمدگی های متعامد و متمم ها، الحاقات 3. مختصات. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 مبانی متعامد محتویات هشتم 4. عملگرهای متقارن قطری 92 جهتهای اصلی، همسانگردی V. تانسورها و اشکال چندخطی 98 1. اشکال چندخطی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 محصولات تانسور، درجه، انقباض، افزایش شاخص ها VE فضاهای برداری توپولوژیکی. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 1. تداوم . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 متریک، توپولوژی، همومورفیسم 2. محدودیت ها. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 همگرایی و تداوم 3. توپولوژی معمول. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

We have been very encouraged by the reactions of students and teachers using our book over the past ten years and so this is a complete retype in TEX, with corrections of known errors and the addition of a supplementary bibliography. Thanks are due to the Springer staff in Heidelberg for their enthusiastic sup­ port and to the typist, Armin Kollner for the excellence of the final result. Once again, it has been achieved with the authors in yet two other countries. November 1990 Kit Dodson Toronto, Canada Tim Poston Pohang, Korea Contents Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI O. Fundamental Not(at)ions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3. Physical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 I. Real Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1. Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Subspace geometry, components 2. Maps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Linearity, singularity, matrices 3. Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Projections, eigenvalues, determinant, trace II. Affine Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1. Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Tangent vectors, parallelism, coordinates 2. Combinations of Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Midpoints, convexity 3. Maps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Linear parts, translations, components III. Dual Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1. Contours, Co- and Contravariance, Dual Basis . . . . . . . . . . . . . . 57 IV. Metric Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1. Metrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Basic geometry and examples, Lorentz geometry 2. Maps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Isometries, orthogonal projections and complements, adjoints 3. Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Orthonormal bases Contents VIII 4. Diagonalising Symmetric Operators 92 Principal directions, isotropy V. Tensors and Multilinear Forms 98 1. Multilinear Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Tensor Products, Degree, Contraction, Raising Indices VE Topological Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 1. Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Metrics, topologies, homeomorphisms 2. Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Convergence and continuity 3. The Usual Topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .