Tensor Analysis on Manifolds

Title......Page 1
Preface......Page 3
Contents......Page 5
0.1.1. Sets......Page 9
0.1.2. Set Operations......Page 10
0.1.3. Cartesian Products......Page 11
0.1.4. Functions......Page 12
0.1.5. Functions and Set Operations......Page 14
0.1.6. Equivalence Relations......Page 15
0.2.1. Topologies......Page 16
0.2.2. Metric Spaces......Page 18
0.2.4. Product Topologies......Page 19
0.2.6. Continuity......Page 20
0.2.7. Connectedness......Page 21
0.2.8. Compactness......Page 23
0.2.11. Paracompactness......Page 25
1.1. Definition of a Manifold......Page 27
1.2. Examples of Manifolds......Page 30
1.3. Differentiable Maps......Page 43
1.4. Submanifolds......Page 48
1.5. Differentiable Curves......Page 51
1.6. Tangents......Page 55
1.7. Coordinate Vector Fields......Page 58
1.8. Differential of a Map......Page 63
2.1. Vector Spaces......Page 67
2.2. Linear Independence......Page 69
2.3. Summation Convention......Page 73
2.4. Subspaces......Page 75
2.5. Linear Functions......Page 77
2.6. Spaces of Linear Functions......Page 79
2.7. Dual Space......Page 83
2.8. Multilinear Functions......Page 84
2.9. Natural Pairing......Page 85
2.10. Tensor Spaces......Page 86
2.12. Reinterpretations......Page 87
2.13. Transformation Laws......Page 91
2.14. Invariants......Page 93
2.15. Symmetric Tensors......Page 95
2.16. Symmetric Algebra......Page 96
2.17. Skew-Symmetric Tensors......Page 99
2.18. Exterior Algebra......Page 100
2.19. Determinants......Page 105
2.20. Bilinear Forms......Page 108
2.21. Quadratic Forms......Page 109
2.22. Hodge Duality......Page 115
2.23. Symplectic Forms......Page 119
3.1. Vector Fields......Page 124
3.2. Tensor Fields......Page 126
3.3. Riemannian Metrics......Page 128
3.4. Integral Curves......Page 129
3.5. Flows......Page 132
3.6. Lie Derivatives......Page 136
3.7. Bracket......Page 141
3.8. Geometric Interpretation of Brackets......Page 143
3.9. Action of Maps......Page 146
3.10. Critical Point Theory......Page 150
3.11. First Order Partial Differential Equations......Page 157
3.12. Frobenius\' Theorem......Page 163
3A. Tensor Bundles......Page 166
3B. Parallelizable Manifolds......Page 168
3C. Orientability......Page 170
4.1. Introduction......Page 173
4.2. Differential Forms......Page 174
4.3. Exterior Derivatives......Page 175
4.4. Interior Products......Page 178
4.5. Converse of the Poincaré Lemma......Page 181
4.6. Cubical Chains......Page 186
4.7. Integration on Euclidean Spaces......Page 195
4.8. Integration of Forms......Page 198
4.9. Stokes\' Theorem......Page 203
4.10. Differential Systems......Page 207
5.1. Introduction......Page 214
5.2. Riemannian and Semi-riemannian Metrics......Page 215
5.3. Length, Angle, Distance, and Energy......Page 216
5.4. Euclidean Space......Page 220
5.5. Variations and Rectangles......Page 221
5.6. Flat Spaces......Page 224
5.7. Affine Connexions......Page 227
5.8. Parallel Translation......Page 232
S.9. Covariant Differentiation of Tensor Fields......Page 236
5.10. Curvature and Torsion Tensors......Page 239
5.11. Connexion of a Semi-riemannian Structure......Page 246
S.12. Geodesics......Page 252
5.13. Minimizing Properties of Geodesics......Page 255
5.14. Sectional Curvature......Page 258
6.1. Introduction......Page 263
6.2. Hamiltonian Manifolds......Page 264
6.3. Canonical Hamiltonian Structure on the Cotangent Bundle......Page 267
6.4. Geodesic Spray of a Semi-riemannian Manifold......Page 270
6.5. Phase Space......Page 272
6.7. Contact Coordinates......Page 277
6.8. Contact Manifolds......Page 279
Bibliography......Page 281
Index......Page 283