Temporal Type Theory: A Topos-Theoretic Approach to Systems and Behavior

این تک نگاری ابتکاری فرمالیسم ریاضی جدیدی را در منطق زمانی مرتبه بالاتر برای اثبات ویژگی‌های رفتار سیستم‌ها بررسی می‌کند. هدف این رویکرد جدید که توسط نویسندگان توسعه یافته است، توضیح این است که چه اتفاقی می‌افتد زمانی که اجزای سیستم متمایز و متعدد با یکدیگر تعامل می‌کنند، با استفاده از یک توصیف نظری دسته‌بندی از انواع رفتار بر اساس شیوها. نویسندگان نشان می‌دهند که چگونه می‌توان رفتار عناصر را در سیستم‌های دینامیکی پیوسته و گسسته تجزیه و تحلیل کرد تا بتوان هر یک را ترجمه و با یکدیگر مقایسه کرد. منطق زمانی آنها نیز به اندازه کافی انعطاف پذیر است که می تواند به عنوان چارچوبی برای منطق های دیگر که با مدل های مشابه کار می کنند، عمل کند.
کتاب با بحث در مورد انواع رفتار، حوزه‌های بازه‌ای و تغییر ناپذیری ترجمه آغاز می‌شود، که به عنوان پایه‌ای برای نظریه نوع زمانی عمل می‌کند. از آنجا، نویسندگان مقدمات منطقی مورد نیاز خود را برای روش‌های زمانی خود بیان می‌کنند و صحت آن معناشناسی منطقی را توضیح می‌دهند. این نتایج سپس برای سیستم‌های دینامیکی ترکیبی، معادلات دیفرانسیل، و سیستم‌های انتقال برچسب‌گذاری شده اعمال می‌شوند. یک مطالعه موردی شامل جداسازی هواپیما در سیستم ملی فضای هوایی برای نشان دادن نظریه نوع زمانی در عمل ارائه شده است.
محققان علوم کامپیوتر، منطق و ریاضیات علاقه مند به رویکردهای موضعی-نظری و مقوله پسند رفتار سیستمی، این تک نگاری را منبع مهمی خواهند یافت. همچنین می تواند به عنوان یک متن تکمیلی برای یک دوره تخصصی موضوعات فارغ التحصیل باشد.

This innovative monograph explores a new mathematical formalism in higher-order temporal logic for proving properties about the behavior of systems. Developed by the authors, the goal of this novel approach is to explain what occurs when multiple, distinct system components interact by using a category-theoretic description of behavior types based on sheaves. The authors demonstrate how to analyze the behaviors of elements in continuous and discrete dynamical systems so that each can be translated and compared to one another. Their temporal logic is also flexible enough that it can serve as a framework for other logics that work with similar models.
The book begins with a discussion of behavior types, interval domains, and translation invariance, which serves as the groundwork for temporal type theory. From there, the authors lay out the logical preliminaries they need for their temporal modalities and explain the soundness of those logical semantics. These results are then applied to hybrid dynamical systems, differential equations, and labeled transition systems. A case study involving aircraft separation within the National Airspace System is provided to illustrate temporal type theory in action.
Researchers in computer science, logic, and mathematics interested in topos-theoretic and category-theory-friendly approaches to system behavior will find this monograph to be an important resource. It can also serve as a supplemental text for a specialized graduate topics course.