Syzygies and homotopy theory

مهمترین متغیر یک فضای توپولوژیکی گروه بنیادی آن است. هنگامی که این موضوع پیش پا افتاده است، نظریه هموتوپی حاصل به خوبی مورد تحقیق و آشنایی است. با این حال، در حالت کلی، نظریه هموتوپی بر روی گروه‌های بنیادی غیر پیش پا افتاده بسیار مشکل‌سازتر است و به مراتب کمتر شناخته شده است.

Syzygies and Homotopy Theory مشکل هموتوپی غیرساده مرتبط در اولین موارد غیر پیش پا افتاده و برای اولین بار یک بازتوانی سیستماتیک روش هیلبرت از سیزیژی ها را در زمینه نظریه هموتوپی غیر ساده متصل ارائه می دهد. بخش اول کتاب تئوری است و به گونه ای تنظیم شده است که به یک گروه کلی که به طور محدود ارائه شده است به عنوان یک گروه اساسی اجازه می دهد. نوآوری در اینجا این است که syzygies را به عنوان ماژول های پایدار به جای ماژول های حداقلی در نظر بگیریم. این امر ناگزیر باعث تجدید نظر در مشکلات عدم لغو می شود. در بخش دوم و عملی کتاب به این موارد پرداخته شده است. به طور خاص، بخش دوم کتاب نحوه عملکرد این نظریه را با جزئیات برای مثال های خاص در نظر می گیرد F_n´F که در آن Fn گروهی آزاد از رتبه n است و F متناهی است. نوآوری دیگر این است که اولین syzygy را از نظر کلاس آشناتر از ماژول های رایگان پایدار، پارامتری کنیم. علاوه بر این، توصیف دقیق این ماژول‌های آزاد پایدار با اصلاح مناسب روش مربع‌های میلنور انجام می‌شود.

نظریه توسعه‌یافته در این کتاب کاربردهای بالقوه‌ای در شاخه‌های مختلف جبر دارد. از جمله جبر همسانی، نظریه حلقه و نظریه K. Syzygies و Homotopy Theoryبرای محققان و همچنین دانشجویان فارغ التحصیل با پیشینه جبر و توپولوژی جبری جالب خواهد بود.

The most important invariant of a topological space is its fundamental group. When this is trivial, the resulting homotopy theory is well researched and familiar. In the general case, however, homotopy theory over nontrivial fundamental groups is much more problematic and far less well understood.

Syzygies and Homotopy Theory explores the problem of nonsimply connected homotopy in the first nontrivial cases and presents, for the first time, a systematic rehabilitation of Hilbert's method of syzygies in the context of non-simply connected homotopy theory. The first part of the book is theoretical, formulated to allow a general finitely presented group as a fundamental group. The innovation here is to regard syzygies as stable modules rather than minimal modules. Inevitably this forces a reconsideration of the problems of noncancellation; these are confronted in the second, practical, part of the book. In particular, the second part of the book considers how the theory works out in detail for the specific examples F_n´F where Fn is a free group of rank n and F is finite. Another innovation is to parametrize the first syzygy in terms of the more familiar class of stably free modules. Furthermore, detailed description of these stably free modules is effected by a suitable modification of the method of Milnor squares.

The theory developed within this book has potential applications in various branches of algebra, including homological algebra, ring theory and K-theory. Syzygies and Homotopy Theory will be of interest to researchers and also to graduate students with a background in algebra and algebraic topology.