Systèmes dynamiques et méthodes de continuation : Applications en biologie et dynamique des populations

Couverture
Page de titre
Avant-propos
1 Introduction
	1.1 Généralités
	1.2 Exemples de systèmes dynamique
	1.3 Équation différentielle, processus d\'évolution et déterminisme
	l.4 Notions fondamentales pour l\'étude des systèmes dynamiques
	1.5 Phénomènes de bifurcation
	1.6 Analyse qualitative
2 Éléments de caclcul différentiel
	2.1 Introduction
	2.2 Espace affine. Approche usuelle de la notion de vecteurs
	2.3 Différentielle d\'une fonction définie sur R^n
	2.4 Formule des accroissements finis
	2.5 Dérivées partielles d\'ordre supérieur
	2.6 Approximation de f au voisinage d\'un point
	2.7 Homéomorphisme, théorème de l\'inverse, difféomorphisme
	2.8 Théorème des fonctions implicites
3. Variétés topologiques et différentiables
	3.1 Définitions et exemples
	3.2 Difféomorphisme entre variétés
	3.3 Codimension. Sous-espaces vectoriels transverses
	3.4 Sous-variété d\'un ouvert de R^n
	3.5 Sous-variété de variété
	3.6 Distance sur une variété
4 Champs de vecteurs sur R^n
	4.1 Définition d\'un champ de vecteurs sur Rn
	4.2 Espace fibrés. fibrations, fibrés différentiables
	4.3 Germe
	4.4 Différentielle entre variétés
	4.5 Espace tangent en un point d\'une variété
	4.6 Champ de vecteurs sur une variété
	4.7 Structure de variété différentiable du fibré tangent TJI
	4.8 Rang d\'une application différentiable, immersion, submersion, plongement
5 Propriétés générales des trajectoires
	5.1 Équation différentielles générales
	5.2 Théorème local d\'existence et d\'unicité
	5.3 Flot d\'un champ de vecteurs
	5.4 Exemple de flot non complet, durée de vie
	5.5 Équivalence à des champs de vecteurs à flot complet
	5.6 Existence et unicité des solutions des champs définis sur une variété
	5.7 Les champs de vecteurs linéaires autonomes x = Ax
	5.8 Isoclines
6 Analyse qualitative des tn1jectoires
	6.1 Type topologique de trajectoire
	6.2 Section locale
	6.3 Théorème du voisinage tubulaire
	6.5 Variétés invariantes locales pour les difféomorphismes et les champs de vecteurs
	6.6 Propriétés des ensembles limites
	6.7 Orbites récurrentes
	6.8 Récurrence pour les champs de vecteurs d\'un ouvert de la sphère
7 Stabilité des points singuliers
	7.1 Stabilité d\'un point singulier de champ de vecteurs
	7.2 Différents types de stabilité
	7.3 Stabilité des points fixes des systèmes linéaires planaires
	7.4 Théorème de stabilité
	7.5 Application : stabilité locale des points fixes des systèmes planaires non linéaires
	7.6 Exemple : stabilité du système non linéaire
8 Orbites et champs périodiques
	8.1 Orbites périodiques
	8.2 Application de Poincaré
	8.3 Utilité de l\'applicaion de Poincaré
	8.4 Section globale. suspension
	8.5 Champ de vecteurs périodiques
9 Stabilité des orbites périodiques
	9.1 Différents types de stabilité pour une orbite périodique
	9.2 Différents types de stabilité pour un point fixe de difféomorphisme
	9.3 Relation entre la stabilité d\'une orbite périodique et celle de son application de Poincaré
	9.4 Théorème de stabilité
	9.5 Application aux orbites périodiques, nmltipliation de Floquet
10 Caractérisation des phénomènes non linéaires
	10.1 Exemples de type α)
	10.2 Introduction aux bifurcations élémentaires
	10.3 Équations de type β)
	10.4 Calculs explicites dynamiques de populations
11 Bifurcations de solutions stationnaires
	11.1 Bifurcations élémentaires de base, champs de R
	11.2 Champs de R²
12 Bifurcations de Hopf 1
	12.1 Exemples
	12.2 Caractérisation de la bifurcation de Hopf
	12.3 Bifurcation de Hopf par les formes normales
	12.4 Compléments bifurcations de Hopf
	12.5 Bistabilité des solutions périodiques
	12.6 Phénomème de l\'explosion
13 Généricité
	13.1 Introduction
	13.2 Définitions et approche heuristique
	13.3 Quelques résultats d\'analyse fonctionnelle
	13.4 La notion de généricité
	13.5 Déploiement équivalence de deux familles sur R^k
	13.6 Théorèmes de préparation
	13.7 Conjugaison et équivalence de deux champs sur une variété
	13.8 Déploiement équivalence, sur une variété
	13.9 Déploiements versels pour les singularités
	13.10 Déploiements de type selle-noeud sur R
	13.11 k-jet d\'une fonction
	13.12 Déploiements des bifurcations de Hopf-Takens
14 Méthodes de continuation
	14.1 Phénoménologie
	14.2 Principes des méthodes de continuation
	14.3 Prédicteurs
	14.4 Paramétrisations
	14.5 Correcteurs
	14.6 Contrôle du pas
	14.7 Cas des équations non autonomes
15 Théorie des méthodes de continuation
	15.1 Solution régulière
	15.2 Points limites simples (ou plis)
	15.3 Continuation par la norme
	15.4 Continuation par la pseudo-abscisse curviligne
	15.5 L\'algorithme du bord
	15.6 Bifurcation et branchement
	15.7 Les points limites et leur continuation
	15.8 Continuation de solutions périodiques
	15.9 Persistance des solutions périodiques
	15.10 Continuation des points de bifurcation de Hopf
16 Bifurcations en biochimie
	16.1 Un modèle d\'enzime à deux compartiments
	16.2 Modèle activateur-inhibiteur
17 Applications à l\'écologie
	17.1 Dynamiques d\'une seule population
	17.2 Deux populations en interaction
	17.3 Modèles proie-prédateur
	17.4 Modèle de compétition interspécifique
	17.5 Modèle de mutualisme interspécifique
	17.6 Modèle de Lotka-Leslie
Bibliographie
Index