Symplectic Methods in Harmonic Analysis and in Mathematical Physics

هدف این کتاب ارائه یک بررسی دقیق و کامل از موضوعات مختلف از تجزیه و تحلیل هارمونیک با تأکید قوی بر ویژگی‌های بی‌تغییر ساده است که اغلب در ادبیات فرکانس زمانی نادیده گرفته می‌شوند یا دست کم گرفته می‌شوند. موضوعاتی که به آنها پرداخته می شود عبارتند از (اما محدود به) نظریه تبدیل ویگنر، اصل عدم قطعیت (از نقطه نظر توپولوژی سمپلتیک)، حساب ویل و کوواریانس سمپلتیک آن، نظریه جهانی عملگرهای شبه دیفرانسیل شوبین، و نظریه فضاهای مدولاسیون فایشتینگر. چندین کاربرد برای تحلیل فرکانس زمانی و مکانیک کوانتومی ارائه شده است که بسیاری از آنها همزمان با تحقیقات در حال انجام هستند. به عنوان مثال، یک محاسبات شبه دیفرانسیل غیر استاندارد در فضای فاز معرفی و مورد مطالعه قرار می‌گیرد، که در آن نقش اصلی را "عملگرهای Bopp" ایفا می‌کنند (که در ادبیات به آن عملگرهای لاندو نیز می‌گویند). این حساب ارتباط نزدیکی هم با مسئله لاندو و هم با نظریه کوانتیزاسیون تغییر شکل فلاتو و استرنهایمر دارد، که از آن یک فرمول شبه دیفرانسیل ساده ارائه می دهد که در آن فضاهای مدولاسیون فایشتینگر بازیگران کلیدی هستند.

این این کتاب در درجه اول برای دانشجویان یا محققان در تجزیه و تحلیل هارمونیک (به معنای وسیع) و فیزیکدانان ریاضی که در مکانیک کوانتومی کار می کنند، طراحی شده است. همچنین می توان آن را با سود توسط محققان در تجزیه و تحلیل زمان-فرکانس مطالعه کرد و مکمل ارزشمندی برای ادبیات موجود در مورد موضوع است. آشنایی خاصی با تحلیل فوریه (به معنای وسیع) و تحلیل عملکردی مقدماتی (مثلاً نظریه ابتدایی توزیع ها) فرض شده است. در غیر این صورت، کتاب تا حد زیادی مستقل است و شامل فهرست گسترده ای از منابع است.

The aim of this book is to give a rigorous and complete treatment of various topics from harmonic analysis with a strong emphasis on symplectic invariance properties, which are often ignored or underestimated in the time-frequency literature. The topics that are addressed include (but are not limited to) the theory of the Wigner transform, the uncertainty principle (from the point of view of symplectic topology), Weyl calculus and its symplectic covariance, Shubin’s global theory of pseudo-differential operators, and Feichtinger’s theory of modulation spaces. Several applications to time-frequency analysis and quantum mechanics are given, many of them concurrent with ongoing research. For instance, a non-standard pseudo-differential calculus on phase space is introduced and studied, where the main role is played by “Bopp operators” (also called “Landau operators” in the literature). This calculus is closely related to both the Landau problem and to the deformation quantization theory of Flato and Sternheimer, of which it gives a simple pseudo-differential formulation where Feichtinger’s modulation spaces are key actors.

This book is primarily directed towards students or researchers in harmonic analysis (in the broad sense) and towards mathematical physicists working in quantum mechanics. It can also be read with profit by researchers in time-frequency analysis, providing a valuable complement to the existing literature on the topic. A certain familiarity with Fourier analysis (in the broad sense) and introductory functional analysis (e.g. the elementary theory of distributions) is assumed. Otherwise, the book is largely self-contained and includes an extensive list of references.