Symplectic Invariants and Hamiltonian Dynamics

کشف‌های دهه‌های گذشته چشم اندازهای جدیدی را برای میدان قدیمی سیستم‌های همیلتونی گشوده و منجر به ایجاد میدان جدیدی شده است: توپولوژی سمپلتیک. پدیده‌های سفتی شگفت‌انگیز نشان می‌دهند که ماهیت نگاشت‌های ساده بسیار متفاوت از نگاشت‌های حفظ حجم است. این سؤالات جدیدی را ایجاد می کند که بسیاری از آنها هنوز بی پاسخ هستند. از سوی دیگر، تجزیه و تحلیل یک اصل تغییرات قدیمی در مکانیک کلاسیک، پدیده‌های تناوبی جهانی را در سیستم‌های همیلتونی ایجاد کرده است. همانطور که مشخص است، این پدیده های به ظاهر متفاوت به طور مرموزی به هم مرتبط هستند. یکی از پیوندها، دسته ای از متغیرهای سمپلتیک است که ظرفیت های سمپلتیک نامیده می شود. این متغیرها موضوع اصلی این کتاب است که شامل موضوعاتی مانند هندسه سمپلتیک اولیه، ظرفیت‌ها و صلبیت سمپلتیک، مدارهای تناوبی برای سیستم‌های همیلتونی و اصل عمل، یک متریک دو تغییر ناپذیر در گروه دیفئومورفیسم نمادین و هندسه آن، ثابت سمپلتیک است. نظریه نقطه‌ای، حدس‌های آرنولد و سیستم‌های بیضوی مرتبه اول، و در نهایت بررسی هم‌شناسی فلور و هم‌شناسی سمپلتیک.

این نمایشگاه مستقل است و خطاب به محققان و دانشجویان از مقطع کارشناسی ارشد به بعد است.

------

همه فصل ها دارای یک مقدمه خوب با توسعه تاریخی موضوع و با توصیف کاملی از وضعیت هنر هستند. ایده های اصلی در سراسر کتاب به روشنی در معرض دید قرار گرفته اند. (…) این کتاب که توسط دو محقق باتجربه نوشته شده است، مطمئناً شکافی را در نظریه توپولوژی ترکیبی پر خواهد کرد. نویسندگان خود یا با همکاری خود با دیگر افراد برجسته در منطقه در توسعه چنین نظریه ای شرکت کرده اند.

(Zentralblatt MATH)

این کتاب مقدمه ای زیبا برای یک دیدگاه در مورد تحولات جدید هیجان انگیز ده تا پانزده سال اخیر در هندسه سمپلتیک یا توپولوژی ترکیبی است، همانطور که اخیراً جنبه های خاصی از موضوع نامیده می شود. (…) نویسندگان استادان آشکار این زمینه هستند و تأملات آنها در اینجا و آنجا در سراسر کتاب در مورد ادبیات محیطی و مسائل باز شاید جالب ترین بخش های جلد باشد.

The discoveries of the last decades have opened new perspectives for the old field of Hamiltonian systems and led to the creation of a new field: symplectic topology. Surprising rigidity phenomena demonstrate that the nature of symplectic mappings is very different from that of volume preserving mappings. This raises new questions, many of them still unanswered. On the other hand, analysis of an old variational principle in classical mechanics has established global periodic phenomena in Hamiltonian systems. As it turns out, these seemingly different phenomena are mysteriously related. One of the links is a class of symplectic invariants, called symplectic capacities. These invariants are the main theme of this book, which includes such topics as basic symplectic geometry, symplectic capacities and rigidity, periodic orbits for Hamiltonian systems and the action principle, a bi-invariant metric on the symplectic diffeomorphism group and its geometry, symplectic fixed point theory, the Arnold conjectures and first order elliptic systems, and finally a survey on Floer homology and symplectic homology.

The exposition is self-contained and addressed to researchers and students from the graduate level onwards.

------

All the chapters have a nice introduction with the historic development of the subject and with a perfect description of the state of the art. The main ideas are brightly exposed throughout the book. (…) This book, written by two experienced researchers, will certainly fill in a gap in the theory of symplectic topology. The authors have taken part in the development of such a theory by themselves or by their collaboration with other outstanding people in the area.

(Zentralblatt MATH)

This book is a beautiful introduction to one outlook on the exciting new developments of the last ten to fifteen years in symplectic geometry, or symplectic topology, as certain aspects of the subject are lately called. (…) The authors are obvious masters of the field, and their reflections here and there throughout the book on the ambient literature and open problems are perhaps the most interesting parts of the volume.