Symplectic Geometry: An Introduction based on the Seminar in Bern, 1992

سمینار هندسه سمپلتیک در دانشگاه برن در تابستان 1992 نشان داد که موضوع این کتاب یک زمینه بسیار فعال است که در آن بسیاری از شاخه های مختلف ریاضیات به هم می رسند: هندسه دیفرانسیل، توپولوژی، معادلات دیفرانسیل جزئی، حساب متغیر، و تجزیه و تحلیل پیچیده طبق معمول در چنین شرایطی، جمع آوری تمام مواد لازم ممکن است خسته کننده باشد. کتاب حاضر در نظر گرفته شده است تا مقدمه ای محکم در مورد پیشرفت های اخیر در هندسه سمپلتیک و تماسی به افراد غیرمتخصص ارائه دهد. فصل 1 مروری بر گروه Sp(n,R)، منیفولدهای sympkctic و سیستم‌های همیلتونی (آخرین اما نه کم‌اهمیت برای اصلاح نمادها) ارائه می‌کند. شاخص 1\Iaslov برای منحنی های بسته و همچنین کمان ها در Sp(n، R) مورد بحث قرار گرفته است. این شاخص در فصل‌های 5 و 8 مورد استفاده قرار خواهد گرفت. فصل 2 شامل شرح مفصل‌تری از منیفولدهای سمپلتیک است که با اثبات قضیه داربوکس شروع می‌شود و می‌گوید که هیچ گونه محلی در هندسه سمپلتیک وجود ندارد. مهم ترین نمونه های منیفولدهای سمپلتیک معرفی خواهند شد: فضاهای کوتانژانت و منیفولدهای کاهلر. در نهایت، نظریه مدارهای همجنس و قضیه کوستانت-سوریو را مورد بحث قرار می‌دهیم، که به این سوال مربوط می‌شود که کدام فضاهای همگن دارای ساختاری ساده هستند.

The seminar Symplectic Geometry at the University of Berne in summer 1992 showed that the topic of this book is a very active field, where many different branches of mathematics come tog9ther: differential geometry, topology, partial differential equations, variational calculus, and complex analysis. As usual in such a situation, it may be tedious to collect all the necessary ingredients. The present book is intended to give the nonspecialist a solid introduction to the recent developments in symplectic and contact geometry. Chapter 1 gives a review of the symplectic group Sp(n,R), sympkctic manifolds, and Hamiltonian systems (last but not least to fix the notations). The 1\Iaslov index for closed curves as well as arcs in Sp(n, R) is discussed. This index will be used in chapters 5 and 8. Chapter 2 contains a more detailed account of symplectic manifolds start­ ing with a proof of the Darboux theorem saying that there are no local in­ variants in symplectic geometry. The most important examples of symplectic manifolds will be introduced: cotangent spaces and Kahler manifolds. Finally we discuss the theory of coadjoint orbits and the Kostant-Souriau theorem, which are concerned with the question of which homogeneous spaces carry a symplectic structure.