Survey on Classical Inequalities

بررسی نابرابری های کلاسیک مطالعه برخی از نابرابری های شناخته شده در تحلیل ریاضی کلاسیک را فراهم می کند. موضوعات مورد بررسی عبارتند از: نابرابری های نوع هاردی-لیتل وود، نابرابری های هاردی و کارلمن، نابرابری های لیاپانوف، نابرابری های شانون و نابرابری های مرتبط، نابرابری تابعی شانون تعمیم یافته، نابرابری های عملگر مرتبط با نابرابری های جنسن، نابرابری های وزنی Lp - هنجارهای چند برابری برای و همچنین کاربرد در تعدادی از مسائل ریاضیات محض و کاربردی. خوشحالم که قدردانی خود را از ریاضیدانان برجسته ای که در تهیه این جلد مشارکت داشتند ابراز می کنم. در نهایت، مایلیم از کمک های فوق العاده کارکنان ناشران آکادمیک Kluwer تشکر کنیم. ژوئن 2000 Themistocles M. Rassias Vll LYAPUNOV نابرابری ها و کاربردهای آنها ریچارد سی. براون گروه ریاضیات، دانشگاه آلاباما، توسکالوسا، AL 35487-0350، ایالات متحده آمریکا. آدرس ایمیل:dicbrown@bama.ua.edu DON B. HINTON گروه ریاضیات، دانشگاه تنسی، ناکسویل، TN 37996، ایالات متحده. آدرس ایمیل: hinton@novell.math.utk.edu چکیده. برای نزدیک به 50 سال نابرابری های لیاپانوف ابزار مهمی در مطالعه معادلات دیفرانسیل بوده است. در این بررسی، بر اساس یک بررسی تاریخی عالی در سال 1991 توسط چنگ، ما برخی از پیشرفت‌های جدید در نظریه نابرابری‌های لیاپانوف را ترسیم می‌کنیم و برخی از نتایج گسستگی اخیر مربوط به معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم و بالاتر و همچنین سیستم‌های همیلتونی را ارائه می‌کنیم. 1. مقدمه نابرابری لیاپانوف در مطالعه خواص طیفی معادلات دیفرانسیل معمولی مفید است. کاربردهای معمولی شامل کران مقادیر ویژه، معیارهای پایداری برای معادلات دیفرانسیل تناوبی، و تخمین فواصل گسستگی است.

Survey on Classical Inequalities provides a study of some of the well known inequalities in classical mathematical analysis. Subjects dealt with include: Hardy-Littlewood-type inequalities, Hardy's and Carleman's inequalities, Lyapunov inequalities, Shannon's and related inequalities, generalized Shannon functional inequality, operator inequalities associated with Jensen's inequality, weighted Lp -norm inequalities in convolutions, inequalities for polynomial zeros as well as applications in a number of problems of pure and applied mathematics. It is my pleasure to express my appreciation to the distinguished mathematicians who contributed to this volume. Finally, we wish to acknowledge the superb assistance provided by the staff of Kluwer Academic Publishers. June 2000 Themistocles M. Rassias Vll LYAPUNOV INEQUALITIES AND THEIR APPLICATIONS RICHARD C. BROWN Department of Mathematics, University of Alabama, Tuscaloosa, AL 35487-0350, USA. email address:dicbrown@bama.ua.edu DON B. HINTON Department of Mathematics, University of Tennessee, Knoxville, TN 37996, USA. email address: hinton@novell.math.utk.edu Abstract. For nearly 50 years Lyapunov inequalities have been an important tool in the study of differential equations. In this survey, building on an excellent 1991 historical survey by Cheng, we sketch some new developments in the theory of Lyapunov inequalities and present some recent disconjugacy results relating to second and higher order differential equations as well as Hamiltonian systems. 1. Introduction Lyapunov's inequality has proved useful in the study of spectral properties of ordinary differential equations. Typical applications include bounds for eigenvalues, stability criteria for periodic differential equations, and estimates for intervals of disconjugacy.