Structured Matrix Based Methods for Approximate Polynomial GCD

تعریف و محاسبه بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو چندجمله ای با ضرایب غیر دقیق یک مشکل کلاسیک در محاسبات عددی- نمادین است. بخش اول این کتاب به بررسی نتایج اصلی که تاکنون در ادبیات ارائه شده است می پردازد. طبق معمول در مورد محاسبات چند جمله ای، مسئله GCD چند جمله ای را می توان به صورت ماتریسی بیان کرد: بخش دوم کتاب بر این دیدگاه تمرکز دارد و ساختار ماتریس های مربوطه مانند Toeplitz، Toepliz-block و ساختارهای جابجایی را تجزیه و تحلیل می کند. الگوریتم های جدید برای محاسبه GCD چند جمله ای تقریبی، همراه با آزمون های عددی گسترده ارائه شده است. استفاده از ساختار ماتریسی به ویژه اجازه می دهد تا هزینه محاسباتی مجانبی را با توجه به درجه چند جمله ای از مرتبه مکعب به مرتبه درجه دوم کاهش دهیم.

Defining and computing a greatest common divisor of two polynomials with inexact coefficients is a classical problem in symbolic-numeric computation. The first part of this book reviews the main results that have been proposed so far in the literature. As usual with polynomial computations, the polynomial GCD problem can be expressed in matrix form: the second part of the book focuses on this point of view and analyses the structure of the relevant matrices, such as Toeplitz, Toepliz-block and displacement structures. New algorithms for the computation of approximate polynomial GCD are presented, along with extensive numerical tests. The use of matrix structure allows, in particular, to lower the asymptotic computational cost from cubic to quadratic order with respect to polynomial degree.