Structural Additive Theory

بین تئوری اعداد، ترکیبات، جبر و تجزیه و تحلیل، موضوعی به سرعت در حال توسعه در ریاضیات قرار دارد که با نام‌های ترکیبیات جمعی، نظریه اعداد جمعی، نظریه گروه‌های جمعی، و نظریه اعداد ترکیبی شناخته می‌شوند. اهداف اصلی مطالعه آن خود گروه‌های آبلی نیستند، بلکه ساختار افزایشی زیرمجموعه‌ها و دنباله‌های یک گروه آبلی، یعنی مجموع‌ها و مجموع‌های متوالی هستند. این متن ترکیبی از یک تک نگاری پژوهشی و یک کتاب درسی مقدماتی تحصیلات تکمیلی است. به جز چند استثنا، همه نتایج ارائه شده مستقل هستند، با جزئیات بسیار نوشته شده اند، و تنها بر اساس مطالب پوشش داده شده در یک برنامه درسی پیشرفته کارشناسی تکمیل شده با برخی جبر اضافی، این کتاب را به عنوان یک متن سطح ابتدایی قابل استفاده می کند. با این حال، شاید برای محققانی که در حال حاضر در این زمینه فعالیت می کنند، جالب تر باشد.

اکثریت مطالب به صورت کتاب یافت نمی‌شوند و نتایج جدید بسیاری را نیز شامل می‌شوند. حتی نتایج کلاسیک، زمانی که گنجانده شوند، به طور کلی یا با استفاده از تغییرات اثبات جدید ارائه می شوند. متن تمرکز ویژه‌ای بر نتایج با ماهیت دقیق‌تر و دقیق‌تر، نتایج با فرضیه‌های قوی‌تر و در عین حال نتیجه‌گیری‌های قوی‌تر، و جنبه‌های اساسی نظریه دارد. همچنین شامل نتایج پیچیده ای است که اغلب در متون دیگر به دلیل پیچیدگی آنها نادیده گرفته می شود. نکات برجسته شامل بررسی گسترده هممورفیسم‌های فریمن و گروه محیط جهانی مجموعه‌های A+B، یک فصل کامل به روش ایزوپریمتری حمیدون، یک تعمیم جدید که اجازه جمع‌های نامتناهی را در سؤالات مجموع محدود می‌دهد، مسائل حاصل از جمع صفر وزنی که در زمینه کلی بررسی می‌شوند. مشاهده هممورفیسم ها به عنوان وزن، و اثبات های ساده شده قضیه ساختار کمپرمن و قضیه تقسیم برای پارتیشن ها.

​Nestled between number theory, combinatorics, algebra and analysis lies a rapidly developing subject in mathematics variously known as additive combinatorics, additive number theory, additive group theory, and combinatorial number theory. Its main objects of study are not abelian groups themselves, but rather the additive structure of subsets and subsequences of an abelian group, i.e., sumsets and subsequence sums. This text is a hybrid of a research monograph and an introductory graduate textbook. With few exceptions, all results presented are self-contained, written in great detail, and only reliant upon material covered in an advanced undergraduate curriculum supplemented with some additional Algebra, rendering this book usable as an entry-level text. However, it will perhaps be of even more interest to researchers already in the field.

The majority of material is not found in book form and includes many new results as well. Even classical results, when included, are given in greater generality or using new proof variations. The text has a particular focus on results of a more exact and precise nature, results with strong hypotheses and yet stronger conclusions, and on fundamental aspects of the theory. Also included are intricate results often neglected in other texts owing to their complexity. Highlights include an extensive treatment of Freiman Homomorphisms and the Universal Ambient Group of sumsets A+B, an entire chapter devoted to Hamidoune’s Isoperimetric Method, a novel generalization allowing infinite summands in finite sumset questions, weighted zero-sum problems treated in the general context of viewing homomorphisms as weights, and simplified proofs of the Kemperman Structure Theorem and the Partition Theorem for setpartitions.