Strong and Weak Approximation of Semilinear Stochastic Evolution Equations

در این کتاب ما خطای ناشی از طرح‌های عددی را برای تقریب معادلات تکامل تصادفی نیمه‌خطی (SEEq) در یک تنظیم فضایی هیلبرت تحلیل می‌کنیم. طرح‌های عددی در نظر گرفته شده ترکیبی از روش‌های المان محدود گالرکین با تقریب‌های زمانی از نوع اویلر است. با شروع از تجزیه و تحلیل دقیق نظم مکانی-زمانی راه‌حل ملایم SEEq، ما تخمین‌های خطای بهینه خطای قوی همگرایی را در بخش اول کتاب استخراج و اثبات می‌کنیم.

بخش دوم. با یک رویکرد جدید به اصطلاح خطای ضعیف همگرایی سروکار دارد که فاصله بین قانون حل عددی و قانون جواب دقیق را اندازه گیری می کند. این رویکرد مبتنی بر ادغام بیسموت با فرمول قطعات و حساب مالیاوین برای فرآیندهای تصادفی با ابعاد نامحدود است. قبل از اینکه همگرایی ضعیف برای SEEq خطی ثابت شود، این تکنیک‌ها در یک فصل جداگانه توسعه و توضیح داده شده‌اند.

In this book we analyze the error caused by numerical schemes for the approximation of semilinear stochastic evolution equations (SEEq) in a Hilbert space-valued setting. The numerical schemes considered combine Galerkin finite element methods with Euler-type temporal approximations. Starting from a precise analysis of the spatio-temporal regularity of the mild solution to the SEEq, we derive and prove optimal error estimates of the strong error of convergence in the first part of the book.

The second part deals with a new approach to the so-called weak error of convergence, which measures the distance between the law of the numerical solution and the law of the exact solution. This approach is based on Bismut’s integration by parts formula and the Malliavin calculus for infinite dimensional stochastic processes. These techniques are developed and explained in a separate chapter, before the weak convergence is proven for linear SEEq.