Stochastische Matrizen

در سخنرانی مبتدی \"جبر خطی\" دانش آموز با سیستم گسترده ای از اصطلاحات و نتایج آشنا می شود. اهميت اين نظريه براي همه موضوعات اغلب به وي اشاره مي شود، اما عمدتاً فقط كاربردهايي از هندسه ارائه مي شود. ارائه ما بین کتابهای بسیار ابتدایی (گاهی با عنوان \"ریاضیات محدود\") که تا حدی برای غیر ریاضیدانان و فقط عناصر استفاده از جبر خطی نوشته شده است و تئوریهای کلی فرآیندهای تصادفی است. ، که اغلب فضای کمی را به مورد خاص محدود اختصاص می دهد. این تا حد زیادی متکی بر در نظر گرفتن مقادیر ویژه ماتریس های تصادفی است. اگرچه تعیین مقادیر ویژه مستقیماً بخشی از مشکل نیست، به نظر می رسد این مطالعه به ما مربوط می شود. مقادیر ویژه برای ارائه بهترین اطلاعات در مورد رفتار توان های یک ماتریس تصادفی. (ما می دانیم که این روش برای فرآیندهای تصادفی با تعداد بی نهایت حالت به طور کامل با شکست مواجه می شود.) پس از بحث در مورد مسئله و چند مثال در § 1، تمام عبارات مربوط به مقادیر ویژه ماتریس های تصادفی که بعدا مورد نیاز خواهند بود، استخراج می شوند. در 2. قضایای همگرایی به راحتی در § 3 دنبال می شوند. در § 4، قضایای بیشتری را در مورد مقادیر ویژه ماتریس های تصادفی بررسی می کنیم، که البته بعداً به سختی مورد استفاده قرار خواهند گرفت.

In der Anfängervorlesung "Lineare Algebra" lernt der Student ein umfang­ reiches System von Begriffen und Ergebnissen kennen. Auf die Bedeutung dieser Theorie für die ganz"e t1athematik wird er zwar oft hingewiesen, aber vorgeführt werden meist nur Anwendungen aus der Geometrie. Das vorliegende kleine Heft ist äer Versuch, ein anderes Gebiet für die Motivierung der Anfängervorlesung zu erschließen, nämlich die Theorie der stochastischen Prozesse mit endl~ch vielen Zuständen in matrizen­ theoretischer Behandlung. Unsere Darstellung steht zwischen den sehr elementar gehaltenen Büchern (mitunter mit dem Titel "Finite Mathema­ tics"), die zum Teil für Nichtmathematiker geschrieben sind und nur Elemente der Linearen Algebra verwenden, und den allgemeinen Theorien der stochastischen Prozesse, welche dem endlichen Spezialfall oft wenig Raum widmen. Sie stützt sich weitgehend auf die Betrachtung der Eigen­ werte von stochastischen Matrizen. Obwohl die Bestimmung der Eigenwerte nicht direkt ein Teil des Problems ist, scheint uns das Studium der Eigenwerte den besten Aufschluß über das Verhalten der Potenzen einer stochastischen Matrix zu geben. (Wir sind uns dessen bewußt, daß diese Methode freilich für stochastische Prozesse mit unendlich vielen Zustän­ den völlig versagt. ) Nach der Erörterung der Problemstellung und einigen Beispielen in § 1 werden in § 2 alle später benötigten Aussagen über die Eigenwerte von stochastischen Matrizen hergeleitet. Darauf folgen dann in § 3 leicht die Konvergenzsätze. In § 4 behandeln wir weitere Sätze über die Eigen­ werte von stochastischen Matrizen, die jedoch später kaum mehr verwen­ det werden.