Stochastic Analysis

این کتاب برای دانشجویان ارشد و فارغ التحصیلان رشته تئوری احتمالات یا مالی ریاضی در نظر گرفته شده است. در فصل اول، نتایج در نظریه احتمال بررسی شده است. سپس، بحثی در مورد مارتینگل‌های زمان گسسته، مارتینگل‌های ادغام‌پذیر مربع زمان پیوسته (به ویژه، مارتینگل‌های پیوسته مسیرهای پیوسته)، ادغام‌های تصادفی با توجه به مارتینگل‌های محلی پیوسته، و معادلات دیفرانسیل تصادفی ناشی از حرکات براونی دنبال می‌شود. در فصل آخر، کاربردهای مالی ریاضی آورده شده است. دانش اولیه مورد نیاز خواننده جبر خطی و تئوری اندازه گیری است. برای قضایا، گزاره‌ها و لم‌ها برهان‌های دقیقی ارائه شده است.

در این کتاب، تعریف انتظارات شرطی با آنچه معمولاً در سایر کتاب‌های درسی وجود دارد، کمی متفاوت است. برای قضیه تجزیه دوب- مایر، فقط زیر مارتینگال‌های مربعی انتگرال‌پذیر در نظر گرفته می‌شوند و فقط حقایق ابتدایی توابع انتگرال‌پذیر مربع در اثبات استفاده می‌شوند. در معادلات دیفرانسیل تصادفی، تقریب اویلر-مارویاما عمدتاً برای اثبات منحصربه‌فرد بودن مسائل مارتینگل و صاف بودن جواب معادلات دیفرانسیل تصادفی استفاده می‌شود.

This book is intended for university seniors and graduate students majoring in probability theory or mathematical finance. In the first chapter, results in probability theory are reviewed. Then, it follows a discussion of discrete-time martingales, continuous time square integrable martingales (particularly, continuous martingales of continuous paths), stochastic integrations with respect to continuous local martingales, and stochastic differential equations driven by Brownian motions. In the final chapter, applications to mathematical finance are given. The preliminary knowledge needed by the reader is linear algebra and measure theory. Rigorous proofs are provided for theorems, propositions, and lemmas.

In this book, the definition of conditional expectations is slightly different than what is usually found in other textbooks. For the Doob–Meyer decomposition theorem, only square integrable submartingales are considered, and only elementary facts of the square integrable functions are used in the proof. In stochastic differential equations, the Euler–Maruyama approximation is used mainly to prove the uniqueness of martingale problems and the smoothness of solutions of stochastic differential equations.