Statistical Applications of Jordan Algebras

این تک نگاری کارهای من در زمینه آمار ریاضی را که از دریچه جبرهای اردن مشاهده کرده ام، گرد هم می آورد. سه حوزه فنی باید مشاهده شود: کاربرد در فرم‌های درجه دوم تصادفی (مجموع مربع)، بررسی ساده‌سازی‌های جبری برآورد احتمال حداکثری ماتریس‌های کوواریانس الگو، و یک کاوش ریاضی باز گسترده‌تر از عرصه جبری که از آن استخراج کرده‌ام. نتایج مورد استفاده در مسائل آماری که ذکر شد. فصل‌های 1، 2 و 4 نتایج آماری را که من با استفاده از نتایج جبری ایجاد کرده‌ام ارائه می‌کند که عمدتاً در فصل 3 ظاهر می‌شود. در مورد مسائل جبری انتزاعی، خواننده می‌تواند از نیمه اول فصل 4 استفاده کند. در اینجا من یک تعریف ساده، اما هنوز کاملاً دقیق از جبر اردن (همانطور که در آن فصل استفاده می‌شود) و ویژگی‌های اساسی آن را ارائه می‌دهم. این حقایق سپس بلافاصله برای ساده‌سازی مرحله M:-الگوریتم EM برای تخمین ماتریس کوواریانس نرمال چند متغیره، در حضور محدودیت‌های خطی، و داده‌هایی که به طور تصادفی از دست می‌روند، اعمال می‌شوند. نتایج ارائه شده اساساً یک جستجوی آماری عملی را حل می کند که توسط روبین و ساتروسکی [1982] آغاز شد و گاهی اوقات به طور ضمنی توسط بسیاری دیگر ادامه یافت. پس از این، می‌توان به فصل‌های 1 و 2 بازگشت تا ببیند چگونه تلاش کرده‌ام کار کوکران، رائو، میترا و دیگران را در مورد ویژگی‌های مهم و مفید مجموع مربعات تعمیم دهم.

This monograph brings together my work in mathematical statistics as I have viewed it through the lens of Jordan algebras. Three technical domains are to be seen: applications to random quadratic forms (sums of squares), the investigation of algebraic simplifications of maxi­ mum likelihood estimation of patterned covariance matrices, and a more wide­ open mathematical exploration of the algebraic arena from which I have drawn the results used in the statistical problems just mentioned. Chapters 1, 2, and 4 present the statistical outcomes I have developed using the algebraic results that appear, for the most part, in Chapter 3. As a less daunting, yet quite efficient, point of entry into this material, one avoiding most of the abstract algebraic issues, the reader may use the first half of Chapter 4. Here I present a streamlined, but still fully rigorous, definition of a Jordan algebra (as it is used in that chapter) and its essential properties. These facts are then immediately applied to simplifying the M:-step of the EM algorithm for multivariate normal covariance matrix estimation, in the presence of linear constraints, and data missing completely at random. The results presented essentially resolve a practical statistical quest begun by Rubin and Szatrowski [1982], and continued, sometimes implicitly, by many others. After this, one could then return to Chapters 1 and 2 to see how I have attempted to generalize the work of Cochran, Rao, Mitra, and others, on important and useful properties of sums of squares.