Standard Monomial Theory: Invariant Theoretic Approach

انواع شوبرت در دوراهی هندسه جبری، ترکیبیات، جبر جابجایی و نظریه نمایش قرار دارند. آنها دسته مهمی از زیرشاخه‌های انواع پرچم هستند که در نوع خود جالب هستند و ابزاری استقرایی برای مطالعه انواع پرچم ارائه می‌کنند. ادبیات مربوط به آنها بسیار گسترده است، زیرا آنها در همه جا حاضر هستند - آنها در پنجاه سال گذشته به طور فشرده از دیدگاه های مختلف و توسط بسیاری از نویسندگان مختلف مورد مطالعه قرار گرفته اند.

این کتاب عمدتاً شرح مفصلی از یک نمونه خاص جالب از وقوع آنها است: یعنی در رابطه با نظریه کلاسیک تغییر ناپذیر. به‌طور دقیق‌تر، این در مورد ارتباط بین قضیه‌های بنیادی اول و دوم نظریه ثابت کلاسیک از یک سو و نظریه تک‌جمعی استاندارد برای واریته‌های شوبرت در گونه‌های پرچم‌دار خاص - گراسمانی‌های معمولی، متعامد و سمپلتیک - از سوی دیگر است. از نظر تاریخی، این ارتباط انگیزه اصلی برای توسعه نظریه استاندارد تک‌جمعی بود. انواع تعیین کننده و مفاهیم اساسی نظریه هندسی ثابت به طور طبیعی در برقراری ارتباط به وجود می آیند.

این کتاب همچنین در فصل آخر، برخی از کاربردهای دیگر نظریه یکپارچه استاندارد را بررسی می کند، به عنوان مثال، به مطالعه برخی از گونه‌های جبری وابسته به‌طور طبیعی که، مانند انواع تعیین‌کننده، می‌توانند به‌عنوان بخش‌های باز واریته‌های شوبرت شناخته شوند.

Schubert varieties lie at the cross roads of algebraic geometry, combinatorics, commutative algebra, and representation theory. They are an important class of subvarieties of flag varieties, interesting in their own right, and providing an inductive tool for studying flag varieties. The literature on them is vast, for they are ubiquitous—they have been intensively studied over the last fifty years, from many different points of view and by many different authors.

This book is mainly a detailed account of a particularly interesting instance of their occurrence: namely, in relation to classical invariant theory. More precisely, it is about the connection between the first and second fundamental theorems of classical invariant theory on the one hand and standard monomial theory for Schubert varieties in certain special flag varieties - the ordinary, orthogonal, and symplectic Grassmannians - on the other. Historically, this connection was the prime motivation for the development of standard monomial theory. Determinantal varieties and basic concepts of geometric invariant theory arise naturally in establishing the connection.

The book also treats, in the last chapter, some other applications of standard monomial theory, e.g., to the study of certain naturally occurring affine algebraic varieties that, like determinantal varieties, can be realized as open parts of Schubert varieties.