Stable Mappings and Their Singularities

این کتاب با هدف ارائه یک رشته زیبا و نسبتاً قابل دسترس از ریاضیات به دانشجویان سال اول و دوم فارغ التحصیل می شود - نظریه تکینگی های نگاشت های متمایزپذیر پایدار. مطالعه تکینگی های پایدار بر اساس نظریه های کلاسیک فعلی هاسلر ویتنی است که تکینگی های عمومی (یا فقدان آنها) Rn ~ Rm (m ~ 2n - 1) و R2 ~ R2 و مارستون مورس را برای نگاشت هایی که این تکینگی ها را برای Rn ~ R مطالعه کرد. رنه تورن بود که (در اواخر دهه 50) متوجه شد که همه این نتایج را می توان در یک نظریه گنجاند. یادداشت های تام و هارولد لوین در سال 1960 بن (تجدید چاپ شده در [42]) اولین توضیح کلی از این نظریه را ارائه کرد. با این حال، این یادداشت‌ها قبل از کار برنارد مالگرانژ [23] در مورد آنچه که اکنون به عنوان قضیه آماده‌سازی مالگرانژ شناخته می‌شود - که امکان محاسبه نسبتاً آسان اشکال عادی تکینگی‌های پایدار و همچنین اثبات قضیه اصلی در موضوع را می‌دهد- و اثر قطعی جان مادر اخیراً، دو مقاله نظرسنجی توسط آرنولد [4] و وال [53] منتشر شده است که برای کدگذاری مطالب جدید بسیار انجام شده است. هنوز هیچ توضیحی کاملاً قابل دسترس از این موضوع برای دانش آموز مبتدی وجود ندارد. امیدواریم این یادداشت ها تا حدودی این خلأ را پر کند. در نگارش این دست نوشته، ما مکرراً از منابع ذکر شده در بالا، به ویژه یادداشت های تام-لوین و شش مقاله اساسی Mather استفاده کرده ایم.

This book aims to present to first and second year graduate students a beautiful and relatively accessible field of mathematics-the theory of singu­ larities of stable differentiable mappings. The study of stable singularities is based on the now classical theories of Hassler Whitney, who determined the generic singularities (or lack of them) of Rn ~ Rm (m ~ 2n - 1) and R2 ~ R2, and Marston Morse, for mappings who studied these singularities for Rn ~ R. It was Rene Thorn who noticed (in the late '50's) that all of these results could be incorporated into one theory. The 1960 Bonn notes of Thom and Harold Levine (reprinted in [42]) gave the first general exposition of this theory. However, these notes preceded the work of Bernard Malgrange [23] on what is now known as the Malgrange Preparation Theorem-which allows the relatively easy computation of normal forms of stable singularities as well as the proof of the main theorem in the subject-and the definitive work of John Mather. More recently, two survey articles have appeared, by Arnold [4] and Wall [53], which have done much to codify the new material; still there is no totally accessible description of this subject for the beginning student. We hope that these notes will partially fill this gap. In writing this manuscript, we have repeatedly cribbed from the sources mentioned above-in particular, the Thom-Levine notes and the six basic papers by Mather.