Stability Theory for Dynamic Equations on Time Scales

این تک نگاری برای اولین بار در جهان است که سه رویکرد برای تجزیه و تحلیل پایداری حل معادلات دینامیکی ارائه می کند. رویکرد اول مبتنی بر کاربرد نابرابری‌های انتگرال دینامیکی و ماتریس اساسی جواب‌های تقریب خطی معادلات دینامیکی است. دومی مبتنی بر تعمیم روش مستقیم لیاپانوف برای معادلات در مقیاس های زمانی، با استفاده از توابع کمکی مقیاسی، برداری و ماتریسی است. رویکرد سوم، استفاده از توابع کمکی (اسکالر، بردار یا ماتریسی) در ترکیب با نابرابری های دینامیکی دیفرانسیل است. این یک روش مقایسه جایگزین است که برای سیستم‌های گسسته زمان و پیوسته توسعه یافته است. در دهه‌های اخیر، تئوری کنترل خودکار در مطالعه دینامیک هوا و فضاپیما و در سایر زمینه‌های ریاضیات کاربردی مدرن با مشکلاتی در تجزیه و تحلیل رفتار مواجه شده است. حل معادلات خطی و/یا غیر خطی پیوسته گسسته زمان حرکت آشفته. E.T.Bell در کتاب "مردان ریاضیات" در سال 1937 نوشت: "امروزه وظیفه اصلی ریاضیات هماهنگ کردن استمرار و گسسته، گنجاندن آنها در یک ریاضیات جامع و حذف ابهام از هر دو است." مقیاس های زمانی دقیقاً این کار را انجام می دهد.
این تحقیق کاربردهای بالقوه ای در زمینه هایی مانند مکانیک نظری و کاربردی، نورودینامیک، زیست شناسی ریاضی و امور مالی دارد.

This monograph is a first in the world to present three approaches for stability analysis of solutions of dynamic equations. The first approach is based on the application of dynamic integral inequalities and the fundamental matrix of solutions of linear approximation of dynamic equations. The second is based on the generalization of the direct Lyapunovs method for equations on time scales, using scalar, vector and matrix-valued auxiliary functions. The third approach is the application of auxiliary functions (scalar, vector, or matrix-valued ones) in combination with differential dynamic inequalities. This is an alternative comparison method, developed for time continuous and time discrete systems.In recent decades, automatic control theory in the study of air- and spacecraft dynamics and in other areas of modern applied mathematics has encountered problems in the analysis of the behavior of solutions of time continuous-discrete linear and/or nonlinear equations of perturbed motion. In the book “Men of Mathematics,” 1937, E.T.Bell wrote: “A major task of mathematics today is to harmonize the continuous and the discrete, to include them in one comprehensive mathematics, and to eliminate obscurity from both.”Mathematical analysis on time scales accomplishes exactly this.
This research has potential applications in such areas as theoretical and applied mechanics, neurodynamics, mathematical biology and finance among others.