Springer-Handbuch der Mathematik III: Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler

Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 10
5. Variationsrechnung und Physik......Page 16
5.1.1 Die Euler-lagrangeschen Gleichungen......Page 17
5.1.2 Anwendungen......Page 20
5.1.3 Die Hamiltonschen Gleichungen......Page 27
5.1.4 Anwendungen......Page 32
5.1.5 Hinreichende Bedingungen für Ein Lokales Minimum......Page 35
5.1.6 Probleme mit Nebenbedingungen und Lagrangesche Multiplikatoren......Page 38
5.1.7 Anwendungen......Page 39
5.1.8 Natürliche Randbedingungen......Page 42
5.2.2 Anwendungen......Page 44
5.2.3 Probleme mit Nebenbedingungen und Lagrangesche Multiplikatoren......Page 48
5.3 Steuerungsprobleme......Page 49
5.3.1 Bellmansche Dynamische Optimierung......Page 50
5.3.2 Anwendungen......Page 51
5.3.3 Das Pontrjaginsche Maximumprinzip......Page 52
5.3.4 Anwendungen......Page 53
5.4.1 Lokale Minimumprobleme......Page 55
5.4.3 Anwendungen auf Die Methode der Kleinsten Quadrate Von Gauß......Page 56
5.4.4 Anwendungen auf Pseudoinverse......Page 57
5.4.5 Probleme mit Nebenbedingungen und Lagrangesche Multiplikatoren......Page 58
5.4.6 Anwendungen auf Die Entropie......Page 59
5.4.7 der Subgradient......Page 60
5.4.8 Dualitätstheorie und Sattelpunkte......Page 61
Literatur Zu 5......Page 62
6. Stochastik – Mathematik des Zufalls......Page 64
6.1 Elementare Stochastik......Page 65
6.1.1 Das Klassische Wahrscheinlichkeitsmodell......Page 66
6.1.2 Das Gesetz der Großen Zahl Von Jakob Bernoulli......Page 68
6.1.3 der Grenzwertsatz Von Moivre......Page 69
6.1.4 Die Gaußsche Normalverteilung......Page 70
6.1.5 der Korrelationskoeffizient......Page 72
6.1.6 Anwendungen auf Die Klassische Statistische Physik......Page 75
6.2 Die Kolmogorowschen Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung......Page 78
6.2.1 Das Rechnen mit Ereignissen und Wahrscheinlichkeiten......Page 81
6.2.2 Zufällige Variable......Page 85
6.2.3 Zufallsvektoren......Page 91
6.2.4 Grenzwertsätze......Page 96
6.2.5 Anwendungen auf das Bernoullische Modell für Folgen Unabhängiger Versuche......Page 98
6.3.1 Grundideen......Page 106
6.3.2 Wichtige Schätzfunktionen......Page 108
6.3.3 Die Untersuchung Normalverteilter Messgrößen......Page 109
6.3.4 Die Empirische Verteilungsfunktion......Page 112
6.3.5 Die Maximum-likelihood-methode Zur Gewinnung Von Parameterschätzungen......Page 118
6.3.6 Multivariate Analysen......Page 120
6.4 Stochastische Prozesse......Page 123
6.4.1 Zeitreihen......Page 124
6.4.2 Markowsche Ketten und Stochastische Matrizen......Page 130
6.4.3 Poissonsche Prozesse......Page 132
6.4.4 Brownsche Bewegung und Diffusion......Page 133
6.4.5 der Hauptsatz Von Kolmogorow für Allgemeine Stochastische Prozesse......Page 137
Literatur Zu 6......Page 139
7. Numerik und Wissenschaftliches Rechnen......Page 142
7.1.2 Zahldarstellung In Computern......Page 143
7.1.3 Fehlerquellen, Fehlererfassung, Kondition und Stabilität......Page 145
7.2.1 Lineare Gleichungssysteme – Direkte Methoden......Page 146
7.2.3 Eigenwertprobleme......Page 151
7.2.4 Ausgleichsprobleme, Methode der Kleinsten Quadrate......Page 156
7.3.1 Interpolationspolynome......Page 160
7.3.3 Numerische Quadratur......Page 165
7.4.1 Nichtlineare Gleichungen......Page 170
7.4.2 Nichtlineare Gleichungssysteme......Page 172
7.4.3 Berechnung der Nullstellen Von Polynomen......Page 174
7.5.1 Approximation Im Quadratischen Mittel......Page 176
7.5.2 Gleichmäßige Approximation......Page 180
7.5.3 Genäherte Gleichmäßige Approximation......Page 181
7.6.1 Anfangswertprobleme......Page 182
7.6.2 Randwertprobleme......Page 191
7.7.1 Grundideen......Page 194
7.7.2 Diskretisierungsverfahren In der übersicht......Page 195
7.7.3 Elliptische Differentialgleichungen......Page 199
7.7.4 Parabolische Differentialgleichungen......Page 208
7.7.5 Hyperbolische Differentialgleichungen......Page 211
7.7.6 Adaptive Diskretisierungsverfahren......Page 218
7.7.7 Iterative Lösung Von Gleichungssystemen......Page 221
7.7.8 Randelementmethode......Page 230
7.7.9 Technik der Hierarchischen Matrizen......Page 232
7.7.10 Harmonische Analyse......Page 234
7.7.11 Inverse Probleme......Page 244
Literatur Zu 7......Page 246
8.1.1 Lineare Verzinsung......Page 248
8.1.2 Zinseszinsrechnung (geometrische Verzinsung)......Page 249
8.1.3 Rentenrechnung......Page 251
8.1.4 Tilgungsrechnung......Page 253
8.1.6 Barwerte und Renditen......Page 255
8.1.7 Zinsstrukturkurve......Page 257
8.1.8 Risikokennzahlen Festverzinslicher Wertpapiere......Page 259
8.1.9 Risikokennzahlen und Rendite Von Portfolios......Page 262
8.1.10 Finanzinnovationen......Page 263
8.2 Lebensversicherungsmathematik......Page 264
8.2.2 Sterbewahrscheinlichkeiten und Sterbetafeln......Page 265
8.2.3 Die Zahlungsströme Eines Lebensversicherungsvertrages......Page 267
8.2.4 Die Bewertung Von Zahlungsströmen und Lebensversicherungsverträgen......Page 269
8.2.7 Prämienarten......Page 270
8.2.8 der Satz Von Hattendorf......Page 271
8.3.1 Das Kollektive Modell für Eine Versicherungsperiode......Page 272
8.3.2 Berechnung der Gesamtschadenverteilung......Page 274
8.3.3 Ruintheorie, Cramér-lundberg-modell......Page 277
8.3.5 Elemente der Klassischen Extremwerttheorie......Page 281
8.4.1 Wertanlagen, Handelsstrategien und Arbitrage......Page 282
8.4.2 Absicherung und Arbitragefreie Bewertung Von Optionen......Page 284
8.5.1 Wertprozesse und Handelsstrategien......Page 288
8.5.2 der Itô-kalkül......Page 289
8.5.3 Das Black-scholes-modell......Page 292
8.6.1 Primale und Duale Aufgabe......Page 297
8.6.2 Primaler Simplexalgorithmus......Page 300
8.6.3 Innere-punkte-methode......Page 302
8.6.4 Parametrische Lineare Optimierung......Page 304
8.6.5 Das Klassische Transportproblem......Page 306
8.6.6 Das Engpasstransportproblem......Page 308
8.7 Nichtlineare Optimierung......Page 309
8.7.1 Notwendige und Hinreichende Optimalitätsbedingungen Bei Allgemeinen Nebenbedingungen......Page 311
8.7.2 Optimalitätsbedingungen Bei Expliziten Nebenbedingungen......Page 312
8.7.3 Lagrange-dualität......Page 315
8.7.5 Lösung Freier Nichtlinearer Optimierungsaufgaben......Page 317
8.7.6 Lösung Restringierter Optimierungsaufgaben......Page 318
8.8 Diskrete Optimierung......Page 320
8.8.1 Exakte Lösung Von Diskreten Optimierungsaufgaben......Page 321
8.8.2 Dualität......Page 325
8.8.4 Matroide und der Greedy-algorithmus......Page 327
8.8.5 Spezielle Probleme......Page 328
8.9 Optimierungsprobleme über Graphen......Page 329
8.9.1 Kürzeste Wege In Gerichteten Graphen......Page 330
8.9.2 Minimalgerüste......Page 331
8.9.3 Flussprobleme......Page 332
8.9.4 Kostenminimale Flüsse......Page 334
8.9.5 Matchings Minimalen Gewichtes......Page 335
8.9.6 Eulersche Graphen und Das Problem des Chinesischen Postboten......Page 337
8.9.7 Hamiltonkreise und Das Rundreiseproblem......Page 338
8.10.2 Nash-gleichgewicht......Page 340
8.11.1 Problemstellung und Grundlegende Begriffe......Page 342
8.11.2 Lineare Skalarisierung und Optimalitätsbedingungen......Page 346
8.11.3 Weitere Skalarisierungstechniken......Page 348
8.11.4 Karush-kuhn-tucker-optimalitätsbedingungen......Page 349
8.11.5 Dualität......Page 350
8.12 Portfoliooptimierung......Page 351
8.12.1 Das Markowitz-portfoliooptimierungsproblem......Page 352
8.12.2 Lineare Skalarisierung und Eigentlich Effiziente Portfolios......Page 353
8.12.4 Erweiterungen......Page 356
8.13.1 Funktionswertänderungen Bei Funktionen Einer Veränderlichen......Page 357
8.13.2 Funktionswertänderungen Bei Funktionen Mehrerer Unabhängiger Veränderlicher......Page 361
8.13.3 Extremwertprobleme In Den Wirtschaftswissenschaften......Page 362
Literatur Zu 8......Page 365
9.1 Geschichte der Informatik......Page 368
9.2.1 Zielsetzung......Page 374
9.2.2 Alphabete, Wörter und Sprachen......Page 375
9.2.3 Algorithmische Probleme......Page 379
9.3.1 Zielsetzung......Page 386
9.3.2 Die Darstellungen der Endlichen Automaten......Page 387
9.3.3 Simulationen......Page 397
9.3.4 Beweise der Nichtexistenz......Page 400
9.3.5 Nichtdeterminismus......Page 405
9.4.1 Zielsetzung......Page 412
9.4.2 Das Modell der Turingmaschine......Page 413
9.4.3 Mehrband-turingmaschinen und Churchsche These......Page 420
9.4.4 Nichtdeterministische Turingmaschinen......Page 427
9.4.5 Kodierung Von Turingmaschinen......Page 431
9.5.1 Zielsetzung......Page 432
9.5.2 Die Methode der Diagonalisierung......Page 433
9.5.3 Die Methode der Reduktion......Page 439
9.5.4 Satz Von Rice......Page 447
9.6.1 Zielsetzung......Page 450
9.6.2 Komplexitätsmaße......Page 451
9.6.3 Komplexitätsklassen und Die Klasse P......Page 456
9.6.4 Nichtdeterministische Komplexitätsmaße......Page 459
9.6.5 Die Klasse Np und Beweisverifikation......Page 462
9.6.6 Np-vollständigkeit......Page 465
9.7.1 Zielsetzung......Page 480
9.7.2 Approximationsalgorithmen......Page 481
9.7.3 Lokale Suche......Page 486
9.7.4 Simulated Annealing......Page 489
9.8.1 Zielsetzung......Page 491
9.8.2 Elementare Wahrscheinlichkeitstheorie......Page 493
9.8.3 Ein Randomisiertes Kommunikationsprotokoll......Page 495
9.8.4 Die Methode der Fingerabdrücke und Die äquivalenz Von Zwei Polynomen......Page 498
9.9 Zusammenfassung und Ausblick......Page 502
9.10.1 Unschärfe und Mathematische Modellierung......Page 505
9.10.2 Mengenalgebra......Page 506
9.10.3 Unscharfe Zahlen und Ihre Arithmetik......Page 517
9.10.4 Unscharfe Variable......Page 523
9.10.5 Unscharfe Relationen......Page 524
9.10.6 Unschärfemaße......Page 526
9.10.7 Wahrscheinlichkeiten Unscharfer Ereignisse......Page 528
9.10.8 Unscharfe Maße......Page 529
Literatur Zu 9......Page 531
Index......Page 534