Springer-Handbuch der Mathematik II: Begründet von I.N. Bronstein und K.A. Semendjaew Weitergeführt von G. Grosche, V. Ziegler und D. Ziegler Herausgegeben von E. Zeidler

Vorwort......Page 6
Inhaltsverzeichnis......Page 10
2.1.1 Kombinatorik......Page 14
2.1.2 Determinanten......Page 17
2.1.3 Matrizen......Page 21
2.1.4 Lineare Gleichungssysteme......Page 25
2.1.5 Das Rechnen mit Polynomen......Page 31
2.1.6 Der Fundamentalsatz der klassischen Algebra von Gauß......Page 33
2.1.7 Partialbruchzerlegung......Page 40
2.2.1 Das Spektrum einer Matrix......Page 41
2.2.2 Normalformen von Matrizen......Page 43
2.2.3 Matrizenfunktionen......Page 51
2.3.1 Grundideen......Page 53
2.3.2 Lineare Räume......Page 54
2.3.3 Lineare Operatoren......Page 56
2.3.4 Das Rechnen mit linearen Räumen......Page 61
2.3.5 Dualität......Page 65
2.4 Multilineare Algebra......Page 66
2.4.2 Das Rechnen mit Multilinearformen......Page 67
2.4.3 Universelle Produkte......Page 73
2.4.4 Liealgebren......Page 77
2.4.5 Superalgebren......Page 78
2.5.1 Gruppen......Page 79
2.5.2 Ringe......Page 85
2.5.3 Körper......Page 88
2.6.2 Der Hauptsatz der Galoistheorie......Page 91
2.6.3 Der verallgemeinerte Fundamentalsatz der Algebra......Page 94
2.6.4 Klassifikation von Körpererweiterungen......Page 95
2.6.5 Der Hauptsatz über Gleichungen, die durch Radikale lösbar sind......Page 96
2.6.6 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal......Page 98
2.7.1 Grundideen......Page 101
2.7.2 Der Euklidische Algorithmus......Page 103
2.7.3 Die Verteilung der Primzahlen......Page 106
2.7.4 Additive Zerlegungen......Page 112
2.7.5 Die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale Zahlen und Kettenbrüche......Page 115
2.7.6 Transzendente Zahlen......Page 121
2.7.7 Anwendung auf die Zahl p......Page 124
2.7.8 Gaußsche Kongruenzen......Page 129
2.7.10 Das fundamentale Lokal-Global-Prinzip der Zahlentheorie......Page 132
2.7.11 Ideale und höhere Teilbarkeitslehre......Page 134
2.7.12 Anwendungen auf quadratische Zahlkörper......Page 136
2.7.13 Die analytische Klassenzahlformel......Page 138
2.7.14 Die Hilbertsche Klassenkörpertheorie für allgemeine Zahlkörper......Page 139
Literatur zu Kapitel 2......Page 140
3.1 Die Grundidee der Geometrie (Erlanger Programm)......Page 142
3.2 Elementare Geometrie......Page 143
3.2.1 Ebene Trigonometrie......Page 144
3.2.2 Anwendungen in der Geodäsie......Page 151
3.2.3 Sphärische Trigonometrie......Page 153
3.2.4 Anwendungen im Schiffsund Flugverkehr......Page 159
3.2.5 Die Hilbertschen Axiome der Geometrie......Page 160
3.2.7 Die nichteuklidische elliptische Geometrie......Page 164
3.2.8 Die nichteuklidische hyperbolische Geometrie......Page 165
3.3.1 Geraden in der Ebene......Page 168
3.3.2 Geraden und Ebenen im Raum......Page 170
3.4.1 Die euklidische Bewegungsgruppe......Page 172
3.4.2 Kegelschnitte......Page 173
3.4.3 Flächen zweiter Ordnung......Page 176
3.5.1 Grundideen......Page 180
3.5.2 Projektive Abbildungen......Page 182
3.5.3 Der n-dimensionale reelle projektive Raum......Page 183
3.5.4 Der n-dimensionale komplexe projektive Raum......Page 185
3.5.5 Die Klassifikation der ebenen Geometrien......Page 186
3.6 Differentialgeometrie......Page 189
3.6.1 Ebene Kurven......Page 190
3.6.2 Raumkurven......Page 196
3.6.3 Die lokale Gaußsche Flächentheorie......Page 200
3.6.4 Globale Gaußsche Flächentheorie......Page 210
3.7.2 Evoluten......Page 211
3.7.3 Evolventen......Page 212
3.7.4 Die Traktrix von Huygens und die Kettenlinie......Page 213
3.7.5 Die Lemniskate von Jakob Bernoulli und die Cassinischen Kurven......Page 214
3.7.7 Spiralen......Page 215
3.7.8 Strahlkurven (Konchoiden)......Page 217
3.7.9 Radkurven......Page 218
3.8.1 Grundideen......Page 222
3.8.2 Beispiele ebener algebraischer Kurven......Page 231
3.8.3 Anwendungen in der Integralrechnung......Page 236
3.8.4 Die projektiv-komplexe Form einer ebenen algebraischen Kurve......Page 238
3.8.5 Das Geschlecht einer Kurve......Page 242
3.8.6 Diophantische Geometrie......Page 245
3.8.7 Analytische Mengen und der Vorbereitungssatz von Weierstraß......Page 251
3.8.8 Die Auflösung von Singularitäten......Page 252
3.8.9 Die Algebraisierung der modernen algebraischen Geometrie......Page 254
3.9.1 Grundideen......Page 255
3.9.2 Unitäre Geometrie, Hilberträume und Elementarteilchen......Page 258
3.9.3 Pseudounitäre Geometrie......Page 265
3.9.4 Minkowskigeometrie......Page 268
3.9.5 Anwendungen in der speziellen Relativitätstheorie......Page 272
3.9.6 Spingeometrie und Fermionen......Page 278
3.9.8 Symplektische Geometrie......Page 287
Literatur zu Kapitel 3......Page 289
4.1.1 Wahre und falsche Aussagen......Page 294
4.1.2 Implikationen......Page 295
4.1.3 Tautologien und logische Gesetze......Page 297
4.2.2 Induktionsbeweise......Page 299
4.2.4 Existenzbeweise......Page 300
4.2.5 Die Notwendigkeit von Beweisen im Computerzeitalter......Page 302
4.2.6 Falsche Beweise......Page 304
4.3.1 Grundideen......Page 305
4.3.2 Das Rechnen mit Mengen......Page 307
4.3.3 Abbildungen......Page 310
4.3.4 Gleichmächtige Mengen......Page 314
4.3.5 Relationen......Page 315
4.3.6 Mengensysteme......Page 317
4.4.1 Aussagenlogik......Page 318
4.4.2 Prädikatenlogik......Page 321
4.4.3 Die Axiome der Mengentheorie......Page 323
4.4.4 Cantors Strukturierung des Unendlichen......Page 324
4.5 Geschichte der axiomatischen Methode und ihr Verhältnis zur philosophischen Erkenntnistheorie......Page 327
Literatur zu Kapitel 4......Page 330
Index......Page 331