Spinors in Hilbert Space

1. فضای هیلبرت کلمات \"فضای هیلبرت\" در اینجا همیشه نشان دهنده چیزی است که ریاضیدانان ریاضی فضای هیلبرت قابل تفکیک می نامند. این بردار از بردارهایی تشکیل شده است که هر یک دارای بی نهایت مختصات غیرقابل شمارش ql' q2' Q3، .... معمولا مختصات را اعداد مختلط در نظر می گیرند و هر بردار دارای طول مجذور ~rIQrI2 است. این طول مجذور باید همگرا شود تا q ها بردار هیلبرت را مشخص کنند. اجازه دهید qr را بر حسب اجزای واقعی و خیالی بیان کنیم، qr = Xr + iYr' سپس طول مجذور آن l:.r(x; + y;) است. x و y را می توان به عنوان مختصات یک بردار در نظر گرفت. این دوباره یک بردار هیلبرت است، اما یک بردار هیلبرت واقعی است که فقط مختصات واقعی دارد. بنابراین یک بردار هیلبرت پیچیده به طور منحصر به فرد یک بردار هیلبرت واقعی را تعیین می کند. بردار دوم در نگاه اول دو برابر بیشتر از اولین مختصات دارد. اما دو برابر یک عدد در متناهی دوباره یک بی نهایت قابل شمارش است، بنابراین بردار دوم همان تعداد مختصات بردار اول را دارد. بنابراین یک بردار هیلبرت پیچیده نوع کمیت کلی تر از یک مقدار واقعی نیست.

1. Hilbert Space The words "Hilbert space" here will always denote what math­ ematicians call a separable Hilbert space. It is composed of vectors each with a denumerable infinity of coordinates ql' q2' Q3, .... Usually the coordinates are considered to be complex numbers and each vector has a squared length ~rIQrI2. This squared length must converge in order that the q's may specify a Hilbert vector. Let us express qr in terms of real and imaginary parts, qr = Xr + iYr' Then the squared length is l:.r(x; + y;). The x's and y's may be looked upon as the coordinates of a vector. It is again a Hilbert vector, but it is a real Hilbert vector, with only real coordinates. Thus a complex Hilbert vector uniquely determines a real Hilbert vector. The second vector has, at first sight, twice as many coordinates as the first one. But twice a denumerable in­ finity is again a denumerable infinity, so the second vector has the same number of coordinates as the first. Thus a complex Hilbert vector is not a more general kind of quantity than a real one.