Sphere Packings, Lattices and Groups

اکنون الگوریتم بالا را برای یافتن 121 مدار بردارهای norm -2 از بردارهای nann 0 (معروف) اعمال می کنیم و سپس دوباره آن را برای یافتن 665 مدار بردار nann -4 از بردارهای nann 0 و پیدا می کنیم. -2. همسایگان یک شبکه تک مدولار عجیب و غریب 24 بعدی را می توان به شرح زیر یافت. اگر هنجار -4 بردار v E II . مربوط به مجموع 25 1 یک شبکه تک مدولار فرد کاملاً 24 بعدی A و یک شبکه !بعدی است، پس دقیقاً دو بردار غیر 0 از ll25،1 وجود دارد که حاصلضرب داخلی -2 با v است، و این بردارهای nann 0 مطابق با دو همسایه زوج A. شمارش شبکه های 24 بعدی فرد. شکل 17.1 نمودار همسایگی شبکه های Niemeier را نشان می دهد که دارای یک گره برای هر شبکه Niemeier است. اگر A و B شبکه های نیمایر همسایه باشند، سه شبکه انتگرال شامل A n B، یعنی A، B و یک شبکه تک مدولار فرد C وجود دارد (ر.ک. [Kne4]). یک لبه بین گره های A و B در شکل 17.1 برای هر شبکه تک مدولار کاملاً 24 بعدی که از این طریق ایجاد می شود، کشیده شده است. بنابراین یک مطابقت یک به یک بین شبکه‌های تک مدولار عجیب و غریب 24 بعدی و لبه‌های نمودار همسایگی ما وجود دارد. 156 شبکه در جدول 17 نشان داده شده است. I. شکل I 7. نمودارهای مربوط به ابعاد 8 و 16 را نیز نشان می دهد.

We now apply the algorithm above to find the 121 orbits of norm -2 vectors from the (known) nann 0 vectors, and then apply it again to find the 665 orbits of nann -4 vectors from the vectors of nann 0 and -2. The neighbors of a strictly 24 dimensional odd unimodular lattice can be found as follows. If a norm -4 vector v E II . corresponds to the sum 25 1 of a strictly 24 dimensional odd unimodular lattice A and a !-dimensional lattice, then there are exactly two nonn-0 vectors of ll25,1 having inner product -2 with v, and these nann 0 vectors correspond to the two even neighbors of A. The enumeration of the odd 24-dimensional lattices. Figure 17.1 shows the neighborhood graph for the Niemeier lattices, which has a node for each Niemeier lattice. If A and B are neighboring Niemeier lattices, there are three integral lattices containing A n B, namely A, B, and an odd unimodular lattice C (cf. [Kne4]). An edge is drawn between nodes A and B in Fig. 17.1 for each strictly 24-dimensional unimodular lattice arising in this way. Thus there is a one-to-one correspondence between the strictly 24-dimensional odd unimodular lattices and the edges of our neighborhood graph. The 156 lattices are shown in Table 17 .I. Figure I 7. I also shows the corresponding graphs for dimensions 8 and 16.