Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren im Hilbertraum und elliptischer Differentialoperatoren

ویرایش: [1. Aufl.] 
نویسندگان: Friedrich Sauvigny  
سری:  
ISBN (شابک) : 9783662580684, 9783662580691 
ناشر: Springer Berlin Heidelberg,Springer Spektrum 
سال نشر: 2019 
تعداد صفحات: XII, 260
[270] 
زبان: German 
فرمت فایل : PDF (درصورت درخواست کاربر به PDF، EPUB یا AZW3 تبدیل می شود) 
حجم فایل: 3 Mb 

قیمت کتاب (تومان) : 51,000



در این کتاب درسی، قضیه طیفی برای عملگرهای خود الحاقی از نتیجه جبر خطی از طریق قطری‌سازی ماتریس‌های هرمیتی استخراج شده است. از انتگرال های Lebesgue-Stieltjes استفاده می شود و قضایای انتخاب و همگرایی هلی از طریق توابع یکنواخت ارائه می شوند.

ما خانواده طیف‌ها را با یک تقریب پیچیده فنی می‌سازیم که به موجب آن فرمول معکوس Stieltjes در مرکز اثبات قرار دارد. یکی از نتایج این امر این است که عملگرهای خود الحاقی نه تنها یک طیف گسسته، بلکه یک طیف پیوسته نیز دارند. مقادیر ویژه پراکندگی رخ‌داده را نمی‌توان با روش‌های متغیر به‌دست آورد.

سپس به این سؤال اصلی می‌پردازیم که کدام عملگرهای دیفرانسیل بیضوی دارای ادامه پیوسته هستند و بنابراین در محدوده قضیه طیفی قرار دارند. در اینجا بین عملگرهای دیفرانسیل بیضوی پایدار در حوزه‌های محدود و آنهایی که در کل فضا هستند، مانند عملگر شرودینگر، تمایز قائل می‌شویم. همچنین عملگرهای لاپلاس-بلترامی و عملگر شوارتزی برای سطوح حداقل به معنای بالا به عنوان خود الحاقی شناخته می شوند.

در پایان این کتاب مقدمه ای بر تئوری اغتشاش خود-خود ارائه می دهیم. اپراتورهای جانبی در اینجا ما وابستگی تحلیلی خانواده طیفی به پارامتر اغتشاش را نشان می‌دهیم.

این کار روی نظریه طیفی به ویژه برای مطالعات پیشرفته ریاضیات و فیزیک مناسب است، دانش آنالیز تابعی و نظریه معادلات دیفرانسیل بیضوی مورد نیاز است. .

In diesem Lehrbuch wird der Spektralsatz für selbstadjungierte Operatoren aus dem Resultat der Linearen Algebra über die Diagonalisierung Hermitescher Matrizen hergeleitet. Dabei werden Lebesgue-Stieltjes-Integrale verwendet und der Auswahl- sowie der Konvergenzsatz von Helly über monotone Funktionen bereitgestellt.

Wir konstruieren die Spektralschar durch eine technisch aufwändige Approximation, wobei die Stieltjes-Umkehrformel im Zentrum des Beweises steht. Ein Ergebnis hiervon ist, dass selbstadjungierte Operatoren nicht nur ein diskretes, sondern auch ein kontinuierliches Spektrum besitzen. Die auftretenden Streueigenwerte können hierbei nicht durch Variationsmethoden gewonnen werden.

Dann wenden wir uns der zentralen Frage zu, welche elliptischen Differentialoperatoren eine selbstadjungierte Fortsetzung besitzen und somit im Geltungsbereich des Spektralsatzes liegen. Hier unterscheiden wir zwischen stabilen elliptischen Differentialoperatoren auf beschränkten Gebieten und denen auf dem ganzen Raum, wie etwa dem Schrödingeroperator. Auch Laplace-Beltrami-Operatoren und der Schwarzsche Operator für Minimalflächen werden im obigen Sinne als selbstadjungiert erkannt.

Am Ende dieses Buches geben wir eine Einführung in die Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren. Hier weisen wir die analytische Abhängigkeit der Spektralschar vom Störungsparameter nach.

Dieses Werk zur Spektraltheorie ist insbesondere für das fortgeschrittene Mathematik- und Physikstudium geeignet, Kenntnisse in der Funktionalanalysis und der Theorie elliptischer Differentialgleichungen werden vorausgesetzt.