Spectral Theory of Random Schrödinger Operators

از زمان کار اصلی پی. اندرسون در سال 1958، بومی سازی در سیستم های بی نظم موضوع تحقیقات شدید بوده است. از نظر ریاضی، این پدیده را می‌توان به صورت زیر توصیف کرد: عملگرهای خود الحاقی که به عنوان همیلتونی برای این سیستم‌ها استفاده می‌شوند، دارای 10 طیف نقطه خالص هستند، به خصوص در ابعاد پایین یا برای اختلال بزرگ. تلاش زیادی به مطالعه ریاضی عملگرهای تصادفی خود الحاقی مربوط به تئوری محلی سازی برای سیستم های بی نظم اختصاص یافته است. منصفانه است که بگوییم پیشرفت حاصل شده و درک این پدیده بهبود یافته است. این به معنای بسته شدن موضوع نیست. در واقع، تعداد مشکلات مهمی که واقعاً حل شده اند، بیشتر از تعداد مشکلات باقی مانده نیست. اجازه دهید به برخی از موارد اخیر اشاره کنیم: • اثبات محلی سازی در تمام انرژی ها هنوز برای سیستم های دو بعدی وجود ندارد، اگرچه باید در محدوده قابل دسترسی باشد. در مورد شبکه دو بعدی، این مشکل با بررسی یک باند گسسته محدود مورد بررسی قرار گرفته است، اما روند محدود کننده لازم برای رسیدن به شبکه دو بعدی کامل هرگز کنترل نشده است. • به نظر می رسد خواص صافی چگالی حالت ها از تمام تلاش ها در ابعاد بزرگتر از یک فرار می کند. این مشکل به‌ویژه در حالت پیوسته که فرد حتی نمی‌داند پیوسته است یا نه، جدی است.

Since the seminal work of P. Anderson in 1958, localization in disordered systems has been the object of intense investigations. Mathematically speaking, the phenomenon can be described as follows: the self-adjoint operators which are used as Hamiltonians for these systems have a ten­ dency to have pure point spectrum, especially in low dimension or for large disorder. A lot of effort has been devoted to the mathematical study of the random self-adjoint operators relevant to the theory of localization for disordered systems. It is fair to say that progress has been made and that the un­ derstanding of the phenomenon has improved. This does not mean that the subject is closed. Indeed, the number of important problems actually solved is not larger than the number of those remaining. Let us mention some of the latter: • A proof of localization at all energies is still missing for two dimen­ sional systems, though it should be within reachable range. In the case of the two dimensional lattice, this problem has been approached by the investigation of a finite discrete band, but the limiting pro­ cedure necessary to reach the full two-dimensional lattice has never been controlled. • The smoothness properties of the density of states seem to escape all attempts in dimension larger than one. This problem is particularly serious in the continuous case where one does not even know if it is continuous.